Matriz e determinante jacobianos

En cálculo vectorial, a matriz jacobiana, dunha función vectorial de varias variábeis é a matriz de todas as súas derivadas parciais de primeira orde. Cando esta matriz é cadrada, é dicir, cando a función toma o mesmo número de variábeis como entrada que o número de compoñentes vectoriais da súa saída, o seu determinante denomínase determinante jacobiano. Tanto a matriz como (se é aplicábel) o determinante adoitan denominarse simplemente como jacobiano. Reciben o nome do Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definición

Supoña que Modelo:Math é unha función tal que cada unha das súas derivadas parciais de primeira orde existe en Modelo:Math. Esta función toma un punto Modelo:Math como entrada e produce o vector Modelo:Math como saída. Entón, a matriz jacobiana de Modelo:Math, denotada como Modelo:Math, defínese de tal xeito que a súa entrada Modelo:Math é $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$, ou explicitamente

${𝐉}_{𝐟}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial 𝐟}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial 𝐟}{\partial x_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\nabla }}^{𝖳}{f}_1\\ ⋮\\ {\mathrm{\nabla }}^{𝖳}{f}_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$ onde ${\mathrm{\nabla }}^{𝖳}{f}_i$ é a transposta (vector fila) do gradiente da compoñente $i$-ésima.

A matriz jacobiana, cuxas entradas son funcións de Modelo:Math, denótase de varias maneiras; outras notacións comúns inclúen Modelo:Math, $\mathrm{\nabla }𝐟$, e $\frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}$.

Algúns autores definen o jacobiano como a transposta da forma dada anteriormente.

A matriz jacobiana representa o diferencial de Modelo:Math en cada punto onde Modelo:Math é diferenciábel. En detalle, se Modelo:Math é un vector de desprazamento representado por unha matriz columna, o produto de matrices Modelo:Math é outro vector de desprazamento, que é a mellor aproximación linear do cambio de Modelo:Math nunha veciñanza de Modelo:Math, se Modelo:Math é diferenciábel en Modelo:Math.Modelo:Efn Isto significa que a función que mapea Modelo:Math en Modelo:Math é a mellor aproximación linear de Modelo:Math para todos os puntos Modelo:Math próximos a Modelo:Math. O mapa linear Modelo:Math coñécese como a derivada ou a diferencial de Modelo:Math en Modelo:Math.

Cando Modelo:Math, a matriz jacobiana é cadrada, polo que o seu determinante é unha función ben definida de Modelo:Math, coñecida como o determinante jacobiano de Modelo:Math. Contén información importante sobre o comportamento local de Modelo:Math. En particular, a función Modelo:Math ten unha función inversa diferenciábel nunha veciñanza dun punto Modelo:Math se e só se o determinante jacobiano é non nulo en Modelo:Math (véxase o teorema da función inversa para unha explicación disto e a conxectura de Jacobi para un problema relacionado de invertibilidade global). O determinante jacobiano tamén aparece ao mudar as variábeis por integrais múltiples (véxase regra de substitución para varias variábeis).

Cando Modelo:Math, é dicir, cando Modelo:Math é unha función escalar, a matriz jacobiana redúcese ao vector fila ${\mathrm{\nabla }}^{𝖳}f$; este vector fila de todas as derivadas parciais de primeira orde de Modelo:Math é a transposta do gradiente de Modelo:Math, é dicir, ${𝐉}_f={\mathrm{\nabla }}^{𝖳}f$. Especializando aínda máis, cando Modelo:Math, é dicir, cando Modelo:Math é unha función escalar dunha única variábel, a matriz jacobiana ten unha única entrada; esta entrada é a derivada da función Modelo:Math.

Estes conceptos reciben o nome do matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

Matriz jacobiana

O jacobiano dunha función vectorial en varias variábeis xeneraliza o gradiente dunha función escalar en varias variábeis, que á súa vez xeneraliza a derivada dunha función escalar dunha única variábel. Noutras palabras, a matriz jacobiana dunha función escalar en varias variábeis é (a transposta do) seu gradiente e o gradiente dunha función escalar dunha única variábel é a súa derivada.

En cada punto onde unha función é diferenciábel, a súa matriz jacobiana tamén pode considerarse como que describe a cantidade de "estiramento", "rotación" ou "transformación" que a función impón localmente preto dese punto. Por exemplo, se Modelo:Math se usa para transformar suavemente unha imaxe, a matriz Jacobiana Modelo:Math, describe como se transforma a imaxe na veciñanza de Modelo:Math.

Se unha función é diferenciábel nun punto, a súa diferencial dase en coordenadas pola matriz jacobiana. No entanto, unha función non precisa ser diferenciábel para que a súa matriz jacobiana estea definida, xa que só se require que as súas derivadas parciais de primeira orde existan.

Se Modelo:Math é diferenciábel nun punto Modelo:Math en Modelo:Math, entón a súa diferencial represéntase por Modelo:Math. Neste caso, a transformación linear representada por Modelo:Math é a mellor aproximación linear de Modelo:Math preto do punto Modelo:Math, no sentido de que

$$𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)={𝐉}_{𝐟}(𝐩)(𝐱-𝐩)+o(\Vert 𝐱-𝐩\Vert )(\text{as }𝐱\to 𝐩),$$

onde Modelo:Math é unha cantidade que se aproxima a cero moito máis rápido que a distancia entre Modelo:Math e Modelo:Math a medida que Modelo:Math se aproxima a Modelo:Math. Esta aproximación especialízase na aproximación dunha función escalar dunha única variábel polo seu polinomio de Taylor de grao un, é dicir,

$f(x)-f(p)=f^{\prime }(p)(x-p)+o(x-p)(\text{as }x\to p).$

Neste sentido, o jacobiano pode considerarse como un tipo de "derivada de primeira orde" dunha función vectorial de varias variábeis. En particular, isto significa que o gradiente dunha función escalar de varias variábeis tamén pode considerarse como a súa "derivada de primeira orde".

As funcións diferenciábeis baixo composición Modelo:Math e Modelo:Math cumpren a regra da cadea, é dicir, ${𝐉}_{𝐠\circ 𝐟}(𝐱)={𝐉}_{𝐠}(𝐟(𝐱)){𝐉}_{𝐟}(𝐱)$ para Modelo:Math en Modelo:Math.

O jacobiano do gradiente dunha función escalar de varias variábeis ten un nome especial: a matriz hessiana, que nun sentido é a "segunda derivada" da función en cuestión.

Determinante jacobiano

Un mapa non linear $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ envía un pequeno cadrado (esquerda, en vermello) a un paralelogramo distorsionado (dereita, en vermello). O jacobiano nun punto dá a mellor aproximación linear do paralelogramo distorsionado preto dese punto (dereita, en branco translúcido), e o determinante jacobiano dá a razón da área do paralelogramo aproximado en relación á do cadrado orixinal.

Se Modelo:Math, entón Modelo:Math é unha función de Modelo:Math en si mesma e a matriz Jacobiana é unha matriz cadrada. Podemos entón formar o seu determinante, coñecido como o determinante Jacobiano ou simplemente "o jacobiano".

O determinante jacobiano nun punto dado proporciona información importante sobre o comportamento de Modelo:Math preto dese punto. Por exemplo, a función continuamente diferenciábel Modelo:Math é invertíbel preto dun punto Modelo:Math se o determinante jacobiano en Modelo:Math é non nulo. Este é o teorema da función inversa. Ademais, se o determinante jacobiano en Modelo:Math é positivo, entón Modelo:Math preserva a orientación preto de Modelo:Math; se é negativo, Modelo:Math inverte a orientación. O valor absoluto do determinante Jacobiano en Modelo:Math dános o factor polo que a función Modelo:Math expande ou contrae volumes preto de Modelo:Math; esta é a razón pola que aparece na regra de substitución xeral.

O determinante jacobiano úsase ao facer un cambio de variábeis ao avaliar unha integral múltiple dunha función sobre unha rexión dentro do seu dominio. Para acomodar o cambio de coordenadas, a magnitude do determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo dentro da integral. Isto débese a que o elemento Modelo:Math-dimensional Modelo:Math é en xeral un paralelepípedo no novo sistema de coordenadas, e o Modelo:Math-volume dun paralelepípedo é o determinante dos seus vectores nos bordos.

Inversa

Segundo o teorema da función inversa, a inversa da matriz da matriz jacobiana dunha función invertíbel Modelo:Math é a matriz Jacobiana da función inversa. É dicir, a matriz Jacobiana da función inversa nun punto Modelo:Math é

${𝐉}_{{𝐟}^{-1}}(𝐩)={𝐉}_{𝐟}^{-1}({𝐟}^{-1}(𝐩)),$

e o determinante jacobiano é

$\det ({𝐉}_{{𝐟}^{-1}}(𝐩))=\frac{1}{\det ({𝐉}_{𝐟}({𝐟}^{-1}(𝐩)))}.$

Se o jacobiano é continuo e non singular no punto Modelo:Math en Modelo:Math, entón Modelo:Math é invertíbel cando se restrinxe a algunha veciñanza de Modelo:Math. Noutras palabras, se o determinante Jacobiano non é cero nun punto, entón a función é localmente invertíbel preto dese punto.

A (non demostrada) conxectura de Jacobi está relacionada coa invertibilidade global no caso dunha función polinómica, é dicir, unha función definida por n polinomios en n variábeis. Afirma que, se o determinante jacobiano é unha constante non nula (ou, equivalentemente, que non ten ningún cero complexo), entón a función é invertíbel e a súa inversa é unha función polinómica.

Puntos críticos

Se Modelo:Math é unha función diferenciábel, un punto crítico de Modelo:Math é un punto onde o rango da matriz jacobiana non é máximo. Isto significa que o rango no punto crítico é menor que o rango nalgún punto veciño. Noutras palabras, sexa Modelo:Math a dimensión máxima das bólas abertas contidas na imaxe de Modelo:Math; entón un punto é crítico se todos os menores de rango Modelo:Math de Modelo:Math son cero.

No caso onde Modelo:Math, un punto é crítico se o determinante jacobiano é cero.

Exemplos

Exemplo 1

Considere unha función Modelo:Math con Modelo:Math dada por

$𝐟\left(\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{2}y\\ 5x+\sin y\end{array}\right].$

Entón temos

$f_1(x,y)=x^{2}y,$

$f_2(x,y)=5x+\sin y.$

A matriz jacobiana de Modelo:Math é

${𝐉}_{𝐟}(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2xy& x^2\\ 5& \cos y\end{array}\right]$

e o determinante jacobiano é

$\det ({𝐉}_{𝐟}(x,y))=2xy\cos y-5x^2.$

Exemplo 2: transformación de polar a cartesianas

A transformación de coordenadas polares Modelo:Math a coordenadas cartesianas (x, y), vén dada pola función Modelo:Math con compoñentes

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \phi ;\\ y& =r\sin \phi .\end{array}$

${𝐉}_{𝐅}(r,\phi )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right]$

O determinante jacobiano é igual a Modelo:Math. Isto pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

$$\underset{𝐅(A)}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{A}{\iint }f(r\cos \phi ,r\sin \phi )rdrd\phi .$$

Exemplo 3: transformación de esféricas a cartesianas

A transformación de coordenadas esféricas Modelo:Math a coordenadas cartesianas (x, y, z), vén dada pola función Modelo:Math con compoñentes

$\begin{array}{cc}x& =\rho \sin \phi \cos \theta ;\\ y& =\rho \sin \phi \sin \theta ;\\ z& =\rho \cos \phi .\end{array}$

A matriz jacobiana para esta mudanza de coordenadas é

${𝐉}_{𝐅}(\rho ,\phi ,\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial \rho }& \frac{\partial x}{\partial \phi }& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial \rho }& \frac{\partial y}{\partial \phi }& \frac{\partial y}{\partial \theta }\\ \frac{\partial z}{\partial \rho }& \frac{\partial z}{\partial \phi }& \frac{\partial z}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \cos \theta & -\rho \sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi & -\rho \sin \phi & 0\end{array}\right].$

O determinante é Modelo:Math.

Dado que Modelo:Math é o volume para un elemento diferencial de volume rectangular (porque o volume dun prisma rectangular é o produto dos seus lados), podemos interpretar Modelo:Math como o volume do elemento diferencial de volume esférico. A diferenza do volume do elemento diferencial de volume rectangular, o volume deste elemento diferencial de volume non é unha constante e varía coas coordenadas (Modelo:Math e Modelo:Math). Pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

$\underset{𝐅(U)}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{U}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta .$

Exemplo 4

A matriz jacobiana da función Modelo:Math con compoñentes

$\begin{array}{cc}{y}_1& =x_1\\ y_2& =5x_3\\ y_3& =4x_2^2-2x_3\\ y_4& =x_3\sin x_1\end{array}$

é

${𝐉}_{𝐅}(x_1,x_2,x_3)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \frac{\partial y_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \frac{\partial y_2}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_3}{\partial x_1}& \frac{\partial y_3}{\partial x_2}& \frac{\partial y_3}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_4}{\partial x_1}& \frac{\partial y_4}{\partial x_2}& \frac{\partial y_4}{\partial x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 5\\ 0& 8x_2& -2\\ x_3\cos x_1& 0& \sin x_1\end{array}\right].$

Este exemplo mostra que a matriz jacobiana non ten por que ser unha matriz cadrada.

Exemplo 5

O determinante jacobiano da función Modelo:Math con compoñentes

$\begin{array}{cc}{y}_1& =5x_2\\ y_2& =4x_1^2-2\sin (x_2{x}_3)\\ y_3& =x_2{x}_3\end{array}$

é

$\left|\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8x_1& -2x_3\cos (x_2{x}_3)& -2x_2\cos (x_2{x}_3)\\ 0& x_3& x_2\end{array}\right|=-8x_1\left|\begin{array}{cc}5& 0\\ x_3& x_2\end{array}\right|=-40x_1{x}_2.$

A partir disto vemos que Modelo:Math inverte a orientación preto dos puntos onde Modelo:Math e Modelo:Math teñen o mesmo signo; a función é localmente invertíbel en todas as partes agás preto dos puntos onde Modelo:Math ou Modelo:Math.

Intuitivamente, se se comeza cun obxecto pequeno arredor do punto Modelo:Math e se aplica Modelo:Math a ese obxecto, obterase un obxecto resultante con aproximadamente Modelo:Math veces o volume do orixinal, coa orientación invertida.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Variedade central
• Matriz Hessiana
• Pulo (diferencial)

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians