Integración por cambio de variábeis

En cálculo, a integración por cambio de variábeis, tamén coñecida como integración por substitución, é un método para avaliar integrais e antiderivadas. É a contrapartida da regra da cadea para a diferenciación, e pode considerarse que usa a regra da cadea "ao revés".

Cambio dunha única variábel

Introdución (integrais indefinidas)

Consideremos un caso sinxelo que utiliza integrais indefinidas.

Calcular $\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx.$

Facemos $u=2x^3+1.$ Isto significa que $\frac{du}{dx}=6x^2,$ ou como forma diferencial, $du=6x^{2}dx.$ Agora:

$\begin{array}{cc}\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx& =\frac{1}{6}\int \underset{u^7}{\underbrace{(2x^3+1{)}^7}}\underset{du}{\underbrace{(6x^2)dx}}\\ & =\frac{1}{6}\int u^{7}du\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}{u}^8\right)+C\\ & =\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C,\end{array}$

onde $C$ é unha constante arbitraria de integración.

Este procedemento utilízase con frecuencia, mais non todas as integrais teñen unha forma que permita a súa aplicación. En todo caso, o resultado debe verificarse diferenciando e comparando co integrando orixinal.

$\frac{d}{dx}[\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C]=\frac{1}{6}(2x^3+1{)}^7(6x^2)=(2x^3+1{)}^7(x^2).$

Para as integrais definidas, tamén se deben axustar os límites de integración, mais o procedemento é o mesmo na súa maior parte.

Enunciado para integrais definidas

Sexa $g:[a,b]\to I$ unha función diferenciábel cunha derivada continua, onde $I\subset ℝ$ é un intervalo. Supoñamos que $f:I\to ℝ$ é unha función continua. Entón:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(u)du.$

En notación de Leibniz, a substitución $u=g(x)$ produce:

$\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x).$

Isto produce a ecuación $du=g^{\prime }(x)dx$.

A fórmula úsase para transformar unha integral noutra integral que sexa máis fácil de calcular.

Exemplos: Antiderivadas (integrais indefinidas)

O cambio de variábeis pódese usar para determinar as antiderivadas. Escollemos unha relación entre $x$ e $u,$ determinamos a correspondente relación entre $dx$ e $du$ diferenciando, e realizamos as substitucións. Tentamos que este cambio produza unha integral máis simple de resolver como integral inmediata.

Exemplo 1

Considere a integral:

$\int x\cos (x^2+1)dx.$

Facemos a substitución $u=x^2+1$ e diferenciando esa ecuación temos $du=2xdx,$ e por tanto $xdx=\frac{1}{2}du.$ Polo tanto:

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\int 2x\cos (x^2+1)dx\\ & =\frac{1}{2}\int \cos udu\\ & =\frac{1}{2}\sin u+C\\ & =\frac{1}{2}\sin (x^2+1)+C,\end{array}$

onde $C$ é a constante de integración.

Exemplo 2: Antiderivada da tanxente

A función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ .

Usando a substitución $u=\cos x$ dá $du=-\sin xdx$ e

$\begin{array}{cc}\int \tan xdx& =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx\\ & =\int -\frac{du}{u}\\ & =-\ln \left|u\right|+C\\ & =-\ln |\cos x|+C\\ & =\ln |\sec x|+C.\end{array}$

Exemplos: Integrais definidas

Ao avaliar integrais definidas por cambio de variábel, pódese calcular a antiderivada completamente primeiro e despois aplicar as condicións de contorno.

Exemplo 1

Considere a integral: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx.$

Facemos a substitución $u=x^2+1$ e derivando obtemos $du=2xdx,$ e daí temos $xdx=\frac{1}{2}du.$ Polo tanto:

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\frac{du}{\sqrt{u}}\\ & =\frac{1}{2}(2\sqrt{5}-2\sqrt{1})\\ & =\sqrt{5}-1.\end{array}$

Onde o límite inferior $x=0$ foi substituído en $u=x^2+1$ dando $u=1,$ e o límite superior $x=2$ danto $2^2+1=5$.

Exemplo 2: Substitución trigonométrica

Para a integral $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx,$ podemos facer o seguinte. Aplicamos a substitución $x=\sin u$, e derivando temos $dx=\cos udu$, un cambio útil porque $\sqrt{1-{\sin }^{2}u}=\cos u.$ Temos así:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx& =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^{2}u}\cos udu\\ & =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2}udu\\ & ={[\frac{u}{2}+\frac{\sin (2u)}{4}]}_0^{\pi /2}\\ & =\frac{\pi }{4}+0\\ & =\frac{\pi }{4}.\end{array}$

A integral resultante pódese calcular mediante a integración por partes ou unha fórmula de dobre ángulo, $2{\cos }^{2}u=1+\cos (2u),$ seguido dunha substitución máis.

Substitución por varias variábeis

Tamén se pode usar a substitución ao integrar funcións de varias variábeis.

Aquí, a función de substitución Modelo:Math debe ser inxectiva e continuamente derivábel, e as diferenciais transfórmanse como:

$d{v}_1\cdots d{v}_n=|\det (D\phi )(u_1,\dots ,u_n)|d{u}_1\cdots d{u}_n,$

onde Modelo:Math denota o determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais de Modelo:Math no punto Modelo:Math. Esta fórmula expresa o feito de que o valor absoluto do determinante dunha matriz é igual ao volume do paralelotopo expandido polas súas columnas ou filas.

Máis precisamente, a fórmula do cambio de variábeis está indicada no seguinte teorema:

Aplicación en probabilidade

O cambio de variábeis pódese usar para responder á seguinte pregunta importante en probabilidade: dada unha variábel aleatoria Modelo:Mvar con densidade de probabilidade Modelo:Math e outra variábel aleatoria Modelo:Mvar tal que Modelo:Mvar para unha Modelo:Mvar inxectiva (un a un), cal é a densidade de probabilidade de Modelo:Mvar ?

É máis doado responder a esta pregunta respondendo primeiro a unha pregunta lixeiramente diferente: cal é a probabilidade de que Modelo:Mvar tome un valor nalgún subconxunto Modelo:Mvar en particular? Denotamos esta probabilidade Modelo:Math Por suposto, se Modelo:Mvar ten densidade de probabilidade Modelo:Math, entón a resposta é:

$P(Y\in S)=\underset{S}{\int }{p}_Y(y)dy,$

mais isto non é realmente útil porque non coñecemos Modelo:Math que é o que estamos tentando atopar. Podemos avanzar considerando o problema na variábele Modelo:Mvar. Temos que Modelo:Mvar toma un valor en Modelo:Mvar sempre que Modelo:Mvar toma un valor en ${\varphi }^{-1}(S),$ logo:

$P(Y\in S)=P(X\in {\varphi }^{-1}(S))=\underset{{\varphi }^{-1}(S)}{\int }{p}_X(x)dx.$

O cambio de variábel de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar dá:

$P(Y\in S)=\underset{{\varphi }^{-1}(S)}{\int }{p}_X(x)dx=\underset{S}{\int }{p}_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|dy.$

Ao combinar isto coa nosa primeira ecuación temos:

$\underset{S}{\int }{p}_Y(y)dy=\underset{S}{\int }{p}_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|dy,$ así:

$p_Y(y)=p_X({\varphi }^{-1}(y))\left|\frac{d{\varphi }^{-1}}{dy}\right|.$

No caso en que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar dependen de varias variábeis non correlacionadas (isto é, $p_X=p_X(x_1,\dots ,x_n)$ e $y=\varphi (x)$ ), $p_Y$ pódese atopar por substitución en varias variábeis comentado anteriormente. O resultado é:

$p_Y(y)=p_X({\varphi }^{-1}(y))|\det D{\varphi }^{-1}(y)|.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Cambio de variábeis
• Substitución trigonométrica
• Substitución de Weierstrass
• Substitución de Euler

Ligazóns externas

• Integration by substitution en Encyclopedia of Mathematics
• Area formula en Encyclopedia of Mathematics

Modelo:Control de autoridades