Derivada

A derivada é unha operación realizada ás funcións dentro do cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) polo cal se busca un cálculo que relacione a variación (aumento o diminución) do valor dependente da función segundo o valor da variable independente, é dicir, canto aumenta y por cada aumento de x. Para que unha función sexa derivable nun punto $x_a$ ten que ser continua na súa contorna pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

$f^{\prime }(x_a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_a+h)-f(x_a)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_a-h)-f(x_a)}{-h}$

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de $f(x)$, na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}$

Exemplos da definición

Derivada dunha función polinómica:

$f(x)$	$=3x^2+2x-6\Rightarrow$
$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3(x+h{)}^2+2(x+h)-6)-(3x^2+2x-6)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3(x^2+h^2+2xh)+2(x+h)-6)-(3x^2+2x-6)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3x^2+3h^2+6xh+2x+2h-6)-(3x^2+2x-6)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3x^2+3h^2+6xh+2x+2h-6-3x^2-2x+6}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3h^2+6xh+2h}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }3h+6x+2$
	$=6x+2$

Derivada da función logaritmo:

$f(x)$	$={\log }_{a}x\Rightarrow$
$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_{a}x}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a\frac{x+h}{x}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+(h/x))}{h}$
	$=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+t)}{xt}$
	$=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\log }_a(1+t{)}^{1/t}$
	$=\frac{1}{x}{\log }_{a}e$
	$=\frac{1}{x}\frac{1}{{\log }_{e}a}$
	$=\frac{1}{x\ln a}$

Táboa de funcións derivadas

Propiedade	Primitiva	Derivada
Derivada dunha constante	$k$	$0$
Derivada de x	$x$	$1$
Derivada de k x	$kx$	$k$
Produto por escalares, xeneralización do anterior	$kf(x)$	$k{f}^{\prime }(x)$
Derivada dunha suma	$f(x)+g(x)$	$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
Derivada dun produto	$f(x)g(x)$	$f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
Derivada dunha división, deducida da do produto	$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$
Derivada dunha potencia, deducida da do produto ($x\in ℝ$)	$f(x{)}^m$	$mf(x{)}^{m-1}{f}^{\prime }(x)$
Derivada dun logaritmo	${\log }_{a}f(x)$	$\frac{1}{f(x){\log }_e(a)}{f}^{\prime }(x)$
Derivada dunha exponencial	$a^{f(x)}$	$a^{f(x)}{\log }_{e}a{f}^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 1	$\sin f(x)$	$\cos f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 2	$\cos f(x)$	$-\sin f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 3	$\tan f(x)$	${\sec }^{2}f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 4	$\sec f(x)$	$\sec f(x)\tan f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 5	$\mathrm{cosec}f(x)$	$-\mathrm{cosec}f(x)\mathrm{cotan}f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica 6	$\mathrm{cotan}f(x)$	$-{\sec }^{2}f(x)f^{\prime }(x)$
Derivada trigonométrica inversa 1	$\arcsin f(x)$	$\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 2	$\arccos f(x)$	$\frac{-f^{\prime }(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 3	$\arctan f(x)$	$\frac{f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}$
Derivada trigonométrica inversa 4	$\mathrm{arcsec}f(x)$	$\frac{-f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}$
Derivada trigonométrica inversa 5	$\mathrm{arccosec}f(x)$	$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\sqrt{f^2(x)-1}}=\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{f^4(x)-f^2(x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 6	$\mathrm{arccotan}f(x)$	$\frac{-f^{\prime }(x)}{f(x)\sqrt{f^2(x)-1}}=\frac{-f^{\prime }(x)}{\sqrt{f^4(x)-f^2(x)}}$

Regla da cadea

• Regra da cadea para unha función composta:

Se $f(x)=h(g(x))$, daquela $f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Exemplos de aplicación

lim 2x+1= x->2

Utilidade

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

Figura	Lonxitude	Superficie	Volume
Círculo & circunferencia	(Circunferencia) $2\pi r$	(Círculo) $\pi r^2$	non procede
Esfera	non procede	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

$\begin{array}{ccccc}\text{posición}& p=& p_0+& v_{0}t+& \frac{1}{2}{a}_0{t}^2\\ \text{velocidade}& v=& & v_0+& a_{0}t\\ \text{aceleración}& a=& & & a_0\end{array}$

Véxase tamén

Outros artigos

• Diferencial
• Integración
• Cálculo integral
• Lista de integrais