Menor (álxebra linear)

É posíbel utilizar os menores de orde 2 dunha matriz de dimensión 3 para calcular o seu determinante.

En álxebra linealr, un menor dunha matriz Modelo:Math é o determinante dalgunha matriz cadrada máis pequena xerada a partir de Modelo:Math eliminando unha ou máis das súas filas e columnas. Os menores obtidos eliminando só unha fila e unha columna das matrices cadradas (menores primeiros) son necesarios para calcular os cofactores matriciais, que son útiles para calcular tanto o determinante como a inversa das matrices cadradas.

Definición e exemplo

Menores primeiros

Se Modelo:Math é unha matriz cadrada, entón o menor da fila Modelo:Mvar e a columna Modelo:Mvar (tamén chamado menor Modelo:Math ou un menor primeiro ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila Modelo:Mvar e a columna Modelo:Mvar. Este número adoita denotarse Modelo:Math.

O cofactor Modelo:Math obtense multiplicando o menor por Modelo:Math.

Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz Modelo:Nowrap,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right]$

Para calcular o menor Modelo:Math e o cofactor Modelo:Math, atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.

$M_{2,3}=\det \left[\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right]=9-(-4)=13$

Polo tanto, o cofactor da entrada Modelo:Nowrap é

$C_{2,3}=(-1{)}^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

Definición xeral

Sexa Modelo:Math unha matriz Modelo:Math e Modelo:Mvar un número enteiro con Modelo:Math, e Modelo:Math. Un menor Modelo:Math de Modelo:Math, tamén chamado determinante menor de orde Modelo:Mvar de Modelo:Math, é o determinante dunha matriz Modelo:Math obtida de Modelo:Math eliminando Modelo:Math filas e Modelo:Math columnas.

Aplicacións de menores e cofactores

Expansión en cofactores do determinante

Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz Modelo:Math, Modelo:Math, o determinante de Modelo:Math, denotado como Modelo:Math, pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ entón a expansión do cofactor ao longo da Modelo:Mvar-ésima columna dá:

$\begin{array}{cc}\det (𝐀)& =a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+a_{3j}{C}_{3j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_{ij}(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}\end{array}$

A expansión do cofactor ao longo da fila Modelo:Mvar-ésima dá:

$\begin{array}{cc}\det (𝐀)& =a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+a_{i3}{C}_{i3}+\cdots +a_{in}{C}_{in}\\ & =\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}\\ & =\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}\end{array}$

Inversa dunha matriz

Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada Modelo:Math chámase matriz de cofactores:

$𝐂=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$

Entón, a inversa de Modelo:Math é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de Modelo:Math:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}{𝐂}^{𝖳}.$

A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta de Modelo:Math.

Unha observación sobre a notación

Nalgúns libros, en lugar de cofactor úsase o termo adxunto. Ademais, denomínase Modelo:Math e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :${𝐀}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{𝐌}_{ij}$

Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito:

${𝐌}^{-1}=\frac{1}{\det (M)}\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$

Véxase tamén

Outros artigos

• Determinante (matemáticas)
• Matriz (matemáticas)

Ligazóns externas

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare
• PlanetMath Cofactors
• Springer Encyclopedia of Mathematics Minor