Integral múltiple

A integral dobre como o volume baixo unha superficie. A rexión rectangular baixo a figura é o dominio de integración, mentres que a superficie é a gráfica da función de dúas variables da integral.

Unha integral múltiple é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo, $f(x,y)$ ou $f(x,y,z)$. As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R² chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R³ chámanse integrais triplas.

Introdución

Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva $f(x)$ dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva $f(x,y)$ de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función $f(x,y,z)$ definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se $f(x,y,z)=1$ o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.

A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita: Modelo:Ecuación

É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples indefinidas non existen.

Definición

Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación $x_{n+1}=f(x_1,...,x_n)$ e unha rexión $T$ no espazo definido polos eixes das variables independentes da función $f$ (se $T$ é unha rexión pechada e limitada e $f$ está definida nesta). Por exemplo, se $n=2$, o volume situado entre a superficie definida por $x_3=f(x_1,x_2)$ e unha rexión $T$ no plano $X_1{X}_2$ é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou, $f$ está definida en $T$.

$T$ pode dividirse nunha partición interior $\mathrm{\Delta }$ formada por $m$ subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en $T$. A norma $||\mathrm{\Delta }||$ desta partición está dada pola diagonal máis longa nas $m$ subrexións.

Se se toma un punto $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ que estea contido dentro da subrexión con dimensións $\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}...\mathrm{\Delta }{x}_{ni}$ para cada unha das $m$ subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por $x_{n+1}=f(x_1,...,x_n)$ e a subrexión i. Este espazo terá unha magnitude de:

$f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{A}_i=f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}$

Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación $x_{n+1}=f(x_1,...,x_n)$ e a rexión $T$ mediante a suma de Riemann das magnitudes dos $m$ espazos correspondentes a cada unha das subrexións:

$\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}$

Esta aproximación mellora a medida que o número $m$ de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición:

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}$

O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a L se e só se para todo $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que

$|L-\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}|<\epsilon$

para toda partición $\mathrm{\Delta }$ da rexión $T$(que satisfaga $||\mathrm{\Delta }||<\delta$), e para todas as eleccións posibles de $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ na i-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple:

Se $f$ está definida nunha rexión pechada e limitada $T$ do definido polos eixes das variables independentes de $f$, a integral de $f$ sobre $T$ está dada por:

$\iint \dots \underset{T}{\int }f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\dots d{x}_n=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ni})\mathrm{\Delta }{x}_{1i}\mathrm{\Delta }{x}_{2i}\dots \mathrm{\Delta }{x}_{ni}$

sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que $f$ é integrable con respecto a $T$.

Propiedades

As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se f e g son funcións continuas nunha rexión pechada e limitada D nun espazo Rⁿ e c unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:

1.

$\iint \dots \underset{D}{\int }cf(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n=c\iint \dots \underset{𝐃}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

2.

$\iint \dots \underset{D}{\int }[f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\pm g(x_1,x_2,\dots ,x_n)]d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n=$

$\iint \dots \underset{D}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n\pm \iint \dots \underset{D}{\int }g(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

3.

Se $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ge 0$, entón:

$\iint \dots \underset{D}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n\ge 0$

4.

Se $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ge g(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, entón:

$\iint \dots \underset{D}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n\ge \iint \dots \underset{D}{\int }g(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

5.

Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón:

$\iint \dots \underset{D}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n=$

$\iint \dots \underset{D_1}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n+\iint \dots \underset{D_2}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

Integrais múltiples e integrais iteradas

As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx$

se refire a unha integral iterada, a parte externa

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cdots dx$

é a integral con respecto a x da función de x:

$g(x)=\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy.$

Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é dydx ou dxdy, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx\ne \underset{c}{\overset{d}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dxdy.$

Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que

$\underset{A\times B}{\int }|f(x,y)|d(x,y)<\mathrm{\infty },$

Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada.

$\underset{A\times B}{\int }f(x,y)d(x,y)=\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)dy)dx=\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)dx)dy.$

Isto ocorre, cando $f$ é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.

A notación

$\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy$

pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada.

Métodos de integración

Funcións constantes

No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante c pola medida do dominio de integración. Se c = 1, e é integrada a través dunha rexión de R² isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R³ dá o volume da rexión e así sucesivamente.

Por exemplo:

$D=\{(x,y)|2\le x\le 4;3\le y\le 6\}$ y $f(x,y)=c$

Integrando f sobre D:

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}cdxdy=c\cdot \text{area}(D)=c\cdot (3\cdot 2)=c\cdot 6.$

Uso de simetrías

No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo

Dada $f(x,y)=2\sin (x)-3y^3+5$ e que $T=x^2+y^2\le 1$ é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.

Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes:

$\underset{T}{\iint }(2\sin (x)-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }2\sin (x)dxdy-\underset{T}{\iint }3y^{3}dxdy+\underset{T}{\iint }5dxdy$

Xa que tanto 2 sen(x) como 3y³ son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira. $\underset{T}{\iint }(2\sin (x)-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }5dxdy=5\pi$

Cambio de variables

En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.

Se se emprega unha transformación que siga a relación:

$f(y_1,\dots ,y_n)\to f(x_1(y_1,y_2,\dots ,y_n),\dots ,x_n(y_1,y_2,\dots ,y_n))$

Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral

$J=\frac{D(y_1,\dots ,y_n)}{D(x_1,\dots ,x_n)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n}\end{array}\right|$

Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables x, y multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe.

$\iint \dots \underset{D}{\int }f(y_1,\dots ,y_n)d{y}_1\dots d{y}_n=\iint \dots \underset{T}{\int }f(x_1,\dots ,x_n)|J|d{x}_1\dots d{x}_n$

A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.

Coordenadas polares

Transformación de coordenadas rectangulares a polares. Pódese notar que a área da rexión polar é distinta da área da rexión rectangular, o que justifica a necesidade do jacobiano. Tamén se pode demostrar que se se considera $\rho =({\rho }_1+{\rho }_2)/2$ (o raio medio), a área da rexión polar é efectivamente $\rho \mathrm{\Delta }\rho \mathrm{\Delta }\theta$.

Nun espazo R², un dominio de integración que teña unha simetría circular é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación:

$f(x,y)\to f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$

Por exemplo:

Se a función é $f(x,y)=x+y$

aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a $\varphi$ e a $\rho$

$f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).$

Pódense obter funcións mesmo máis simples:

Se a función é $f(x,y)=x^2+y^2$

Tense:

$f(\rho ,\theta )={\rho }^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )={\rho }^2$

se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.

O determinante jacobiano da transformación é:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right|=\rho$

que se obtén inserindo as derivadas parciais de x = ρ cos(θ), e = ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.

Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{T}{\iint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta .$

Coordenadas esféricas

Gráfica das coordenadas esféricas.

Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación:

$f(x,y,z)⟶f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )$

O determinante jacobiano da transformación é:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial (x)}{\partial (\rho )}& \frac{\partial (x)}{\partial (\theta )}& \frac{\partial (x)}{\partial (\varphi )}\\ \frac{\partial (y)}{\partial (\rho )}& \frac{\partial (y)}{\partial (\theta )}& \frac{\partial (y)}{\partial (\varphi )}\\ \frac{\partial (z)}{\partial (\rho )}& \frac{\partial (z)}{\partial (\theta )}& \frac{\partial (z)}{\partial (\varphi )}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta \sin \varphi & -\rho \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \sin \varphi & \rho \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \varphi & 0& -\rho \sin \varphi \end{array}\right|=-{\rho }^2\sin \varphi$

Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.

Por tanto os diferenciais dx dy dz transfórmanse en ρ² sen(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente obtense a fórmula de integración:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{T}{\iiint }f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi ){\rho }^2\sin \varphi d\rho d\theta d\varphi .$

Coordenadas cilíndricas

Gráfica das coordenadas cilíndricas (Móstrase o ángulo θ como φ).

O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación:

$f(x,y,z)\to f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)$

O determinate jacobiano da transformación é:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\rho$

Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{T}{\iiint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho d\rho d\theta dz.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Integral
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes
• Teorema da diverxencia
• Teorema de Fubini
• Integral de Riemann