Regra da cadea

En cálculo, a regra da cadea é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en termos das derivadas de Modelo:Mvar e de Modelo:Mvar. Máis precisamente, se $h=f\circ g$ é a función tal que $h(x)=f(g(x))$ para cada Modelo:Mvar, entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange,

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$

ou equivalentemente,

$h^{\prime }=(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }.$

A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel Modelo:Mvar depende da variábel Modelo:Mvar, que a si mesmo depende da variábel Modelo:Mvar (é dicir, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son variábeis dependentes), entón Modelo:Mvar depende tamén de Modelo:Mvar, a través da variábel intermedia Modelo:Mvar. Neste caso, a regra da cadea exprésase como

$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx},$ e

${\frac{dz}{dx}|}_x={\frac{dz}{dy}|}_{y(x)}\cdot {\frac{dy}{dx}|}_x,$

para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.

Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel.

Enunciado

A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se Modelo:Mvar é unha función que é derivábel nun punto Modelo:Mvar (isto é, a derivada Modelo:Math existe) e Modelo:Mvar é unha función que é derivábel en Modelo:Math, entón a función composta $f\circ g$ é diferenciábel en Modelo:Mvar, e a derivada é

$(f\circ g{)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(g(c))\cdot g^{\prime }(c).$

A regra ás veces abreviase como

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }.$

Continuando o mesmo razoamento, dadas Modelo:Mvar funcións $f_1,\dots ,f_n$ coa función composta $f_1\circ (f_2\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_n))$, se cada función $f_i$ é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz):

$\frac{d{f}_1}{dx}=\frac{d{f}_1}{d{f}_2}\frac{d{f}_2}{d{f}_3}\cdots \frac{d{f}_n}{dx}.$

Aplicacións

Composición de máis de dúas funcións

A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:

Consideremos a función $y=e^{\sin (x^2)}.$ Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións:

$\begin{array}{cc}y& =f(u)=e^u,\\ u& =g(v)=\sin v,\\ v& =h(x)=x^2.\end{array}$ Así que $y=f(g(h(x)))$ .

As súas derivadas son:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{du}& =f^{\prime }(u)=e^u,\\ \frac{du}{dv}& =g^{\prime }(v)=\cos v,\\ \frac{dv}{dx}& =h^{\prime }(x)=2x.\end{array}$

A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto Modelo:Math é:

$\begin{array}{cc}(f\circ g\circ h{)}^{\prime }(a)& =f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h{)}^{\prime }(a)\\ & =f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)\\ & =(f^{\prime }\circ g\circ h)(a)\cdot (g^{\prime }\circ h)(a)\cdot h^{\prime }(a).\end{array}$

En notación de Leibniz, isto é:

$\frac{dy}{dx}={\frac{dy}{du}|}_{u=g(h(a))}\cdot {\frac{du}{dv}|}_{v=h(a)}\cdot {\frac{dv}{dx}|}_{x=a},$

ou para abreviar,

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}.$

Polo tanto, a función derivada é:

$\frac{dy}{dx}=e^{\sin (x^2)}\cdot \cos (x^2)\cdot 2x.$

Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta Modelo:Math como a composición de Modelo:Math e h. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase:

$(f\circ g\circ h{)}^{\prime }(a)=(f\circ g{)}^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(h(a)))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a).$

Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque Modelo:Math.

Regra do cociente

A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función Modelo:Math como o produto Modelo:Math . Primeiro aplicamos a regra do produto:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)& =\frac{d}{dx}(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)})\\ & =f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).\end{array}$

Para calcular a derivada de Modelo:Math, observamos que é a composición de Modelo:Mvar coa función recíproca, é dicir, a función que envía Modelo:Mvar a Modelo:Math. A derivada da función recíproca é $-1/x^2$. Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser:

$f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot (-\frac{1}{g(x{)}^2}\cdot g^{\prime }(x))=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2},$

que é a fórmula habitual da regra do cociente.

Derivadas de funcións inversas

Supoñamos que Modelo:Math ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa Modelo:Mvar para que teñamos Modelo:Math. Hai unha fórmula para a derivada de Modelo:Mvar en termos da derivada de Modelo:Mvar. Para ver isto, temos en conta que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar satisfán a fórmula

$f(g(x))=x.$

E como as funcións $f(g(x))$ e Modelo:Mvar son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de Modelo:Mvar é a función constante con valor 1, e a derivada de $f(g(x))$ está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que:

$f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1.$

Para expresar Modelo:Mvar como función dunha variábel independente Modelo:Mvar, substituímos $f(y)$ por Modelo:Mvar onde queira que apareza. Entón podemos resolver para Modelo:Mvar.

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(g(f(y)))g^{\prime }(f(y))& =1\\ f^{\prime }(y)g^{\prime }(f(y))& =1\\ f^{\prime }(y)=\frac{1}{g^{\prime }(f(y))}.\end{array}$

Por exemplo, consideremos a función Modelo:Math. Ten unha inversa Modelo:Math. Dado que Modelo:Math, a fórmula anterior di que

$\frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{e^{\ln y}}=\frac{1}{y}.$

Esta fórmula é certa sempre que Modelo:Mvar é diferenciábel e a súa inversa Modelo:Mvar tamén é diferenciábel.

Véxase tamén

Outros artigos

• Derivada.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld