Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rⁿ ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto.

$(F^{-1}(p){)}^{\prime }=(F^{\prime }(p){)}^{-1}$

Enunciado

A versión en ${ℝ}^n$ do teorema é a seguinte:

Sexa $f:A\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ unha función C¹. Supoñendo que para $a\in A$, a diferencial $Df(a)$ é invertible e que $f(a)=b$, entón existen abertos $U,V\subset {ℝ}^n$ de modo que $a\in U$, $b\in V$ e $f:U\to V$ é unha función bixectiva, polo que a inversa $f^{-1}:V\to U$ de $f$ é C¹ e polo tanto $D{f}^{-1}(b)=[Df(a){]}^{-1}$.

Exemplo

Considerando a función F de R² en R² definida por

$𝐅(x,y)=\left[\begin{array}{c}{e}^x\cos y\\ e^x\sin y\end{array}\right]$

O seu xacobiano é

$J_F(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right]$

e o seu determinante

$\det J_F(x,y)=e^{2x}{\cos }^{2}y+e^{2x}{\sin }^{2}y=e^{2x}.$

Coma o determinante e^2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R², existe unha contorna de p na que F é invertible.

Variedades diferenzables

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F : M → N entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F,

(dF)_p : T_pM → T_F(p)N

é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que

F|_U : U → F(U)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é un difeomorfismo local.

Inversa global

O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable: Modelo:Ecuación Pode demostrarse que existe unha constante $c(\mathrm{\Omega })$ se cumpre: Modelo:Ecuación De maneira que a función f admite inversa global, onde u_f é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial: Modelo:Ecuación Pode demostrarse que $c(\mathrm{\Omega })=1$ se o dominio $\mathrm{\Omega }$ é convexo, mentres que un dominio non convexo require $c(\mathrm{\Omega })<1$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6. Modelo:Es

Outros artigos

• Teorema da función implícita

Ligazóns externas

• Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo" (2010) Modelo:Es

Modelo:Control de autoridades