Produto de matrices

Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz de resultados ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda.

En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices Modelo:Math e Modelo:Math denotase como Modelo:Math.

O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal.

Definicións

Produto de matrices

Se Modelo:Math é unha matriz Modelo:Math e Modelo:Math é unha matriz Modelo:Math, $$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1p}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{np}\end{array}\right)$$ o produto matricial Modelo:Math (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz Modelo:Math

$𝐂=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1p}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mp}\end{array}\right)$ tal que

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},$ para Modelo:Math; Modelo:Math e Modelo:Math Modelo:Math.

É dicir, o elemento Modelo:Math} do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da Modelo:Mvar-ésima fila de Modelo:Math e a Modelo:Mvar-ésima columna de Modelo:Math, e sumando estes Modelo:Mvar produtos. Noutras palabras, Modelo:Math} é o produto escalar da Modelo:Mvar-ésima fila de Modelo:Math e a Modelo:Mvar-ésima columna de Modelo:Math.

Por tanto, o produto Modelo:Math defínese se e só se o número de columnas en Modelo:Math é igual ao número de filas en Modelo:Math, neste caso Modelo:Math.

A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes $c_{12}$ e $c_{33}$ da matriz produto $AB$ se $A$ é unha matriz de tipo $(4,2)$, et $B$ é unha matriz de tipo $(2,3)$.

$c_{12}=\sum _{r=1}^2{a}_{1r}{b}_{r2}=a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}$

$c_{33}=\sum _{r=1}^2{a}_{3r}{b}_{r3}=a_{31}{b}_{13}+a_{32}{b}_{23}$ Modelo:Clr

Exemplos

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -3\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}(1\times 3+0\times -2)& (1\times 4+0\times -3)\\ (2\times 3+-1\times -2)& (2\times 4+-1\times -3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 8& 11\end{array}\right)$.

En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é, $AB$ non é igual a $BA$, como mostra o seguinte exemplo:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 4& 3& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 3\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ 23& 9\end{array}\right)$,

mentres que,

$\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 3\\ 3& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 4& 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& 13& -1\\ 14& 13& -3\\ 19& 18& -4\end{array}\right)$

Produto escalar

O produto escalar $𝐚\cdot 𝐛$ de dous vectores $𝐚$ e $𝐛$ de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz $1\times 1$) resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así: ${𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛$ (ou ${𝐛}^{\mathrm{T}}𝐚$).

O produto escalar dos dous vectores

$a=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$  e  $b=\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 9\end{array}\right)$

calcúlase como

$a\cdot b=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 9\end{array}\right)=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36$.

Potencia dunha matriz cadrada

A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz $A$ cadrada é diagonalizábel esta diagonalización $A=PD{P}^{-1}$, onde $D$ é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:

$\begin{array}{cc}{A}^k& ={\left(PD{P}^{-1}\right)}^k=\left(PD{P}^{-1}\right)\left(PD{P}^{-1}\right)\cdots \left(PD{P}^{-1}\right)\\ & =PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)D{P}^{-1}=P{D}^k{P}^{-1},\end{array}$

e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal. Por exemplo, para a matriz $A$

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ 0& 1& 0\\ 1& -1& 3\end{array}\right].$

con valores propios $\lambda =1,1,2$ temos a diagonalización: $P$ to get: $$P^{-1}AP={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ 0& 1& 0\\ 1& -1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=D.$$ e agora calculamos:

$\begin{array}{cc}{A}^k=P{D}^k{P}^{-1}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1}^k& 0& 0\\ 0& 1^k& 0\\ 0& 0& 2^k\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]}^{-1}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}2-2^k& -1+2^k& 2-2^{k+1}\\ 0& 1& 0\\ -1+2^k& 1-2^k& -1+2^{k+1}\end{array}\right].\end{array}$

Aplicacións fundamentais

Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear.

Mapas lineares

Un mapa linear Modelo:Mvar dun espazo vectorial de dimensión Modelo:Mvar nun espazo vectorial de dimensión Modelo:Mvar mapea un vector columna

$𝐱=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

sobre o vector columna

$𝐲=A(𝐱)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right).$

O mapa linear Modelo:Mvar está así definido pola matriz

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),$

e mapea o vector columna $𝐱$ no produto matricial

$𝐲=𝐀𝐱.$

Rotacións xeométricas

Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo $\alpha$ arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente,

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],$

onde o punto de orixe $(x,y)$ e a súa imaxe $(x^{\prime },y^{\prime })$ escríbense como vectores columna.

Sistema de ecuacións lineares

A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m.\end{array}$

Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única

$𝐀𝐱=𝐛.$

Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear

O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial

${𝐱}^{𝖳}𝐲,$

onde ${𝐱}^{𝖳}$ é o vector fila obtido mediante a transposición de $𝐱$.

Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial

${𝐱}^{𝖳}𝐀𝐲,$

e calquera forma sesquilinear pode expresarse como

${𝐱}^{†}𝐀𝐲,$

onde ${𝐱}^{†}$ denota a transposta conxugada de $𝐱$ (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada).

Multiplicación matricial por bloque

Se consideramos as matrices $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ e $N=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& B^{\prime }\\ C^{\prime }& D^{\prime }\end{array}\right)$, onde $A,A^{\prime },B,B^{\prime },C,C^{\prime }$ e $D,D^{\prime }$ son matrices que verifican:

• O número de columnas en $A$ e $C$ é igual ao número de filas en $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$
• O número de columnas en $B$ e $D$ é igual ao número de filas en $C^{\prime }$ e $D^{\prime }$

entón temos a igualdade

$MN=\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }+B{C}^{\prime }& A{B}^{\prime }+B{D}^{\prime }\\ C{A}^{\prime }+D{C}^{\prime }& C{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }\end{array}\right)$

Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos.

Produto de Hadamard

Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ de tipo $(m,n)$, denotado Modelo:Math , é unha matriz de tipo $(m,n)$ dada por

$c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}.$

Por exemplo:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\times 0& 3\times 0& 2\times 2\\ 1\times 7& 0\times 5& 0\times 0\\ 1\times 2& 2\times 1& 2\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 7& 0& 0\\ 2& 2& 2\end{array}\right).$

Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker.

Produto de Kronecker

Para dúas matrices arbitrarias $A=(a_{ij})$ e $B$, temos o produto tensor ou produto de Kronecker Modelo:Math que se define por

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$

Se $A$ é unha matriz de tipo $(m,n)$ e $B$ é unha matriz de tipo $(p,r)$ daquela Modelo:Math é unha matriz de tipo $(mp,nr)$. De novo esta multiplicación non é conmutativa.

Por exemplo

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1\times 0& 1\times 3& 2\times 0& 2\times 3\\ 1\times 2& 1\times 1& 2\times 2& 2\times 1\\ 3\times 0& 3\times 3& 1\times 0& 1\times 3\\ 3\times 2& 3\times 1& 1\times 2& 1\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right)$.

Se $A$ e $B$ son as matrices de mapas lineares Modelo:Math e Modelo:Math, respectivamente, logo Modelo:Math representa o produto tensorial dos dous mapas, Modelo:Math.

Propiedades comúns

Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices, son asociativos

$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$,

distributivos en relación coa suma:

$A\times (B+C)=A\times B+A\times C$

$(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

e compatíbeis coa multiplicación por un escalar:

$c(A\times B)=(cA)\times B=A\times (cB)$

Multiplicación por un escalar

O produto por un escalar $r$ dunha matriz $A=(a_{ij})$ dá o resultado

$rA=(r{a}_{ij})$.

Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por:

$Ar=(a_{ij}r)$.

Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.

Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo

$i\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& k\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right)i$

Outros tipos de produto de matrices

Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen:

• Produto cracoviano, definido como Modelo:Math
• Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard
• Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting
• Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é $𝐚{𝐛}^{𝖳}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. Modelo:Arxiv. Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 outubro 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388.
• Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. Modelo:Arxiv. Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 outubro 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro
• Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (novembro 14, 1997). Modelo:Isbn. pp. 501.
• Modelo:Cita libro.
• Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. Modelo:Doi.
• Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), novembro 2005. PDF
• Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354–356, 1969.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Suma de matrices.
• Produto tensorial.
• Produto de Kronecker.

Ligazóns externas

• Multiplicateur de matrices