Función diferenciábel

Unha función diferenciábel

En matemáticas, unha función diferenciábel dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.

Se Modelo:Math é un punto interior no dominio dunha función Modelo:Mvar, entón Modelo:Mvar dise que é diferenciábel en Modelo:Math se a derivada $f^{\prime }(x_0)$ existe. Modelo:Mvar dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función $f$. En xeral, Modelo:Mvar dise que é de clase Modelo:Em se as súas primeiras $k$ derivadas $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\dots ,f^{(k)}(x)$ existen e son continuas sobre o dominio da función $f$.

Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel

Unha función $f:U\to ℝ$, definida nun conxunto aberto $U\subset ℝ$, dise que é diferenciábel en $a\in U$ se a derivada

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

existe. Isto implica que a función é continua en Modelo:Mvar.

Esta función Modelo:Mvar dise que é diferenciábel en Modelo:Mvar se é diferenciábel en cada punto de Modelo:Mvar. Neste caso, a derivada de Modelo:Mvar é así unha función de Modelo:Mvar en $ℝ.$

Unha función dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

A función valor absoluto é continua (é dicir, non ten ocos). É diferenciábel en todas as partes agás no punto Modelo:Math = 0, onde fai un xiro brusco ao cruzar o eixo Modelo:Math.

Unha cúspide na gráfica dunha función continua. En cero, a función é continua mais non diferenciábel.

Se Modelo:Math é diferenciábel nun punto Modelo:Math, entón Modelo:Math debe tamén ser continua en Modelo:Math. En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. O contrario non é certo: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass.

Clases de diferenciabilidade

As funcións diferenciábeis poden ser aproximadas localmente por funcións lineares.

A función $f:ℝ\to ℝ$ con $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ para $x\ne 0$ e $f(0)=0$ é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.

Modelo:Principal Unha función $f$ dise que é Modelo:Em se a derivada $f^{\prime }(x)$ existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin (1/x)& \text{ se }x\ne 0\\ 0& \text{ se }x=0\end{array}$$ é diferenciábel en 0, xa que $$f^{\prime }(0)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\left(\frac{{\epsilon }^2\sin (1/\epsilon )-0}{\epsilon }\right)=0$$ existe. No entanto, para $x\ne 0,$ as regras de diferenciación implican $$f^{\prime }(x)=2x\sin (1/x)-\cos (1/x),$$ que non ten límite cando $x\to 0.$ Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.

De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de Modelo:Em as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de Modelo:Em. Unha función é de Modelo:Em se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de Modelo:Em se as primeiras $k$ derivadas $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\dots ,f^{(k)}(x)$ existen e son continuas. Se as derivadas $f^{(n)}$ existen para todos os enteiros positivos $n,$ a función é suave ou equivalentemente, de Modelo:Em Modelo:-

Diferenciabilidade en dimensións superiores

Unha función de varias variábeis reais Modelo:Math dise que é diferenciábel nun punto Modelo:Math se existe unha aplicación linear Modelo:Math tal que

$\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{\Vert 𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}}+𝐡)-𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})-𝐉\mathbf{(}𝐡\mathbf{)}{\Vert }_{{𝐑}^n}}{\Vert 𝐡{\Vert }_{{𝐑}^m}}=0.$

Se unha función é diferenciábel en Modelo:Math, entón todas as derivadas parciais existen en Modelo:Math, e a aplicación linear Modelo:Math vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz n × m neste caso.

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto Modelo:Math e son continuas no punto Modelo:Math, entón a función é diferenciábel nese punto Modelo:Math.

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función Modelo:Math definida por

$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }y\ne x^2\\ 0& \text{se }y=x^2\end{array}$$

non é diferenciábel en Modelo:Math, pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}{y}^3/(x^2+y^2)& \text{se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{se }(x,y)=(0,0)\end{array}$

non é diferenciábel en Modelo:Math, mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

Diferenciabilidade en análise complexa

Modelo:Principal En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función $f:ℂ\to ℂ$ dise que é diferenciábel en $x=a$ cando

$f^{\prime }(a)=\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función $f:ℂ\to ℂ$, que é complexo-diferenciábel nun punto $x=a$, é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

$\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{|f(a+h)-f(a)-f^{\prime }(a)h|}{|h|}=0.$

No entanto, unha función $f:ℂ\to ℂ$ pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, $f(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$ é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis $f(x,y)=x$, mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h+\overline{h}}{2h}$ non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica.

Funcións diferenciábeis en variedades

Modelo:Véxase tamén Se M é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa f en M dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p. Se M e N son variedades diferenciábeis, unha función f: M → N dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p e f(p).

Véxase tamén

Outros artigos

• Derivada
• Función suave