Distancia euclidiana

A distancia euclidiana en dúas dimensións.

En matemáticas, a distancia euclidiana é a distancia entre dous puntos, que se pode probar aplicando repetidamente o teorema de Pitágoras. Aplicando esta fórmula como distancia, o espazo euclidiano convértese nun espazo métrico.

Definición

Distancia euclidiana entre puntos $P=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ e $Q=(q_1,q_2,\dots ,q_n),$ nun espazo euclidiano n-dimensional, defínese como:

$\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\cdots +(p_n-q_n{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(p_i-q_i{)}^2}.$

Distancia unidimensional

Para puntos unidimensionais, $P=(p_x)$ e $Q=(q_x),$ a distancia calcúlase como:

$$\sqrt{(p_x-q_x{)}^2}=|p_x-q_x|.$$

O valor absoluto úsase xa que a distancia normalmente considérase un valor escalar sen signo.

Distancia bidimensional

Para puntos bidimensionais, $P=(p_x,p_y)$ e $Q=(q_x,q_y),$ a distancia calcúlase como:

$$\sqrt{(p_x-q_x{)}^2+(p_y-q_y{)}^2}.$$

Alternativamente, expresando en coordenadas polares, utilizando $P=(r_1,{\theta }_1)$ e $Q=(r_2,{\theta }_2),$ a distancia calcúlase como:

$$\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}.$$

Teña en conta que a distancia euclidiana no plano cartesiano, polo tanto bidimensional, é equivalente á hipotenusa ($c$) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), entón a distancia euclidiana entre elas é $100,1249$$$\sqrt{(400-300{)}^2+(60-50{)}^2}=\sqrt{10025}=100,1249.$$

Distancia tridimensional

Para puntos tridimensionais, $P=(p_x,p_y,p_z)$ e $Q=(q_x,q_y,q_z),$ a distancia calcúlase como:

$$\sqrt{(p_x-q_x{)}^2+(p_y-q_y{)}^2+(p_z-q_z{)}^2}.$$

Distancia n-dimensional

Para puntos n-dimensionais, $P=(p_1,p_2,...,p_n)$ e $Q=(q_1,q_2,...,q_n),$ a distancia calcúlase como:

$$\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+...+(p_n-q_n{)}^2}.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Espazo euclidiano.
• Número p-ádico.

Ligazóns externas

• unha desigualdade non tan coñecida (Matemáticas na rúa).

Modelo:Control de autoridades