Determinante (matemáticas)

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Significado xeométrico

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

$\det (X,X^{\prime })=\left|\begin{array}{cc}x& x^{\prime }\\ y& y^{\prime }\end{array}\right|=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$

A expresión xeométrica equivalente:

$\det (X,X^{\prime })=\Vert X\Vert \cdot \Vert X^{\prime }\Vert \cdot \mathrm{sen}\theta$

onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $X$ e $X^{\prime }$.

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, $\det (A)=\pm \text{vol}(P).$

Definición

Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right].$

As entradas $a_{1,1}$ etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de $A$ denotado como $\det (A)$, ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right|.$

Fórmula de Leibniz

Regra de Sarrus (esquema mnemotécnico)

O determinante dunha matriz Modelo:Math é

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Por exemplo:

$\det \left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& -4\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& -4\end{array}\right|=(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)=-19.$

$A=\det \left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 2\\ 2& 1& 4\\ -3& 3& -1\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}-2& -1& 2\\ 2& 1& 4\\ -3& 3& -1\end{array}\right|=$

$=(-2\cdot 1\cdot (-1))+(-1\cdot 4\cdot (-3))+(2\cdot 2\cdot 3)-(2\cdot 1\cdot (-3))-(-1\cdot 2\cdot (-1))-(4\cdot 3\cdot (-2))=54.$

Propiedades

Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices Modelo:Math que ten as catro propiedades seguintes:

1. O determinante da matriz identidade é Modelo:Math.
     $\left|I_n\right|=1$;
2. O troco de dúas filas multiplica o determinante por Modelo:Math.
3. Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):
     $\left|\begin{array}{cc}r\cdot a& b\\ r\cdot c& d\end{array}\right|=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|.$
4. Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

Outras propiedades básicas

O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices $2\times 2$, e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes.

• o determinante é cero se dúas filas son iguais:

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=ab-ba=0.$

tamén para dúas columnas.

• Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:

$\left|\begin{array}{cc}a& b+b^{\prime }\\ c& d+d^{\prime }\end{array}\right|=a(d+d^{\prime })-(b+b^{\prime })c=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& b^{\prime }\\ c& d^{\prime }\end{array}\right|.$

• O determinante de unha matriz é igual ao determinante da súa transposta:
     $\left|A\right|=\left|A^T\right|$;
• Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante:
     $\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{\left|A\right|}.$

Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;

• O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet):
     $\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$
• O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde $n$ é igual a ese escalar, elevado a $n$, multiplicado polo determinante da matriz:
     $\left|\lambda A\right|={\lambda }^n\left|A\right|,$ onde $n$ é a orde da matriz $A$
• Se $A$ é ortogonal, entón $\left|A\right|=\pm 1$;
• Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Sexa $A$ unha matriz triangular de orde $n,$ logo $\left|A\right|=a_{1,1}{a}_{2,2}\cdots a_{n,n}=\prod _{i=1}^n{a}_{i,i}$;

• Se unha fila ou columna da matriz $A$ son todo ceros, daquela $\left|A\right|=0$;
• Se for sumado, a unha fila (ou columna) de $A$, un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de $A$ (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cite book
• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Matriz inversa
• Valor propio, vector propio e espazo_propio

Ligazóns externas

• Modelo:SpringerEOM
• Modelo:MathWorld
• Modelo:MacTutor
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Determinant Calculator Calculadora, até orde 8.
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• de curso de Álxebra linear. Modelo:Webarchive

Modelo:Control de autoridades