Pulo (diferencial)

Se un mapa, φ, leva cada punto da variedade M á variedade N, daquela o pulo de φ leva os vectores no espazo tanxente en cada punto de M a un espazo tanxente en cada punto en N.

En xeometría diferencial, o pulo (ou pushforward) é unha aproximación linear de mapas suaves en espazos tanxentes. Supoñamos que $\phi :M\to N$ é un mapa suave entre variedades suaves; daquela diferencial de $\phi$ nun punto $x$, denotado $\mathrm{d}{\phi }_x$, é, nalgún sentido, a mellor aproximación linear de $\phi$ preto de $x$. Pódese ver como unha xeneralización da derivada total do cálculo ordinario. Explicitamente, a diferencial é un mapa linear do espazo tanxente de $M$ en $x$ ao espazo tanxente de $N$ en $\phi (x)$; expresado $\mathrm{d}{\phi }_x:T_{x}M\to T_{\phi (x)}N$. Polo tanto, pódese usar para impulsar vectores tanxentes $M$ cara adiante ata os vectores tanxentes en $N$. O diferencial dun mapa $\phi$ tamén se denomina, por diversos autores, a derivada ou derivada total de $\phi$.

Motivación

Sexa $\phi :U\to V$ un mapa suave dun subconxunto aberto $U$ de ${ℝ}^m$ a un subconxunto aberto $V$ de ${ℝ}^n$. Para calquera punto $x$ en $U$, o jacobiano de $\phi$ en $x$ (en relación ás coordenadas estándar) é a representación matricial da derivada total de $\phi$ en $x$, que é un mapa linear

$d{\phi }_x:T_x{ℝ}^m\to T_{\phi (x)}{ℝ}^n$

entre os seus espazos tanxentes. Observe que os espazos tanxentes $T_x{ℝ}^m,T_{\phi (x)}{ℝ}^n$ son isomorfos a ${ℝ}^m$ e ${ℝ}^n$, respectivamente. O pulo xeneraliza esta construción para o caso no que $\phi$ é unha función suave entre calquera variedades suaves $M$ e $N$.

Se os vectores tanxentes se definen como clases de equivalencia das curvas $\gamma$ para as que $\gamma (0)=x,$ daquela o diferencial vén dado por

$d{\phi }_x({\gamma }^{\prime }(0))=(\phi \circ \gamma {)}^{\prime }(0).$

Aquí, $\gamma$ é unha curva en $M$ con $\gamma (0)=x,$ e ${\gamma }^{\prime }(0)$ é un vector tanxente á curva $\gamma$ en $0.$ Noutras palabras, o pulo do vector tanxente cara a curva $\gamma$ en $0$ é o vector tanxente á curva $\phi \circ \gamma$ en $0.$

Alternativamente, se os vectores tanxentes se definen como derivacións que actúan sobre funcións suaves de valores reais, entón a diferencial vén dada por

$d{\phi }_x(X)(f)=X(f\circ \phi ),$

para unha función arbitraria $f\in C^{\mathrm{\infty }}(N)$ e unha derivación arbitraria $X\in T_{x}M$ nun punto $x\in M$ (Unha derivación defínese como un mapa linear $X:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to ℝ$ que satisfaga a regra de Leibniz, véxase: espazo tanxente). Por definición, o pulo de $X$ está dentro de $T_{\phi (x)}N$ e polo tanto é unha derivación, $d{\phi }_x(X):C^{\mathrm{\infty }}(N)\to ℝ$.

A diferencial no fibrado tanxente

O diferencial dun mapa suave $\phi$ induce, de forma obvia, un mapa de fibrados (de feito un homomorfismo de fibrado vectorial) a partir do fibrado tanxente de $M$ cara ao fibrado tanxente de $N$, denotado por $d\phi$, que encaixa no seguinte diagrama conmutativo:

onde ${\pi }_M$ e ${\pi }_N$ denotan as proxeccións do fibrado dos fibrados tanxentes de $M$ e $N$ respectivamente.

$\mathrm{d}\phi$ induce un mapa de fibrados de $TM$ cara ao fibrado de regresión φ^∗TN sobre $M$ vía

$(m,v_m)\mapsto (\phi (m),\mathrm{d}\phi (m,v_m)),$

onde $m\in M$ e $v_m\in T_{m}M.$ O mapa de fibrados $\mathrm{d}\phi$ tamén se denota por $T\phi$ e chámase mapa tanxente. Deste xeito, $T$ é un functor.

Pulos de campos vectoriais

Dado un mapa suave Modelo:Nowrap e un campo vectorial X sobre M, normalmente non é posible obter un pulo de X mediante φ con algún campo vectorial Y sobre N. Por exemplo, se o mapa φ non é sobrexectivo, non hai unha forma natural de definir tal pulo fóra da imaxe de φ. Alén diso, se φ non é inxectivo, pode haber máis dunha opción de pulo nun punto dado. No entanto, pódese precisar esta dificultade, utilizando a noción de campo vectorial ao longo dun mapa.

Exemplos

Pulo mediante a multiplicación en grupos de Lie

Dado un Grupo de Lie $G$, podemos usar o mapa do operador multiplicación $m(-,-):G\times G\to G$ para obter os mapas de multiplicación pola esquerda $L_g=m(g,-)$ e a multiplicación pola dereita $R_g=m(-,g)$ de $G\to G$. Estes mapas pódense usar para construír campos vectoriais invariantes pola esquerda ou pola dereita en $G$ dende o seu espazo tanxente na orixe $𝔤=T_{e}G$ (que é a súa álxebra de Lie asociada). Por exemplo, dado $X\in 𝔤$ obtemos un campo vectorial asociado $𝔛$ on $G$ definido por$${𝔛}_g=(L_g{)}_{*}(X)\in T_{g}G$$para cada $g\in G$ . Isto pódese calcular facilmente usando a definición de curvas dos mapas de pulos diferenciais. Se temos unha curva$$\gamma :(-1,1)\to G$$onde$$\gamma (0)=e,{\gamma }^{\prime }(0)=X$$obtemos$$\begin{array}{cc}(L_g{)}_{*}(X)& =(L_g\circ \gamma {)}^{\prime }(0)\\ & =(g\cdot \gamma (t){)}^{\prime }(0)\\ & =\frac{dg}{d\gamma }\gamma (0)+g\cdot \frac{d\gamma }{dt}(0)\\ & =g\cdot {\gamma }^{\prime }(0)\end{array}$$posto que $L_g$ é constante con respecto a $\gamma$. Isto implica que podemos interpretar os espazos tanxentes $T_{g}G$ como $T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot 𝔤$.

Pulos para algúns grupos de Lie

Por exemplo, se $G$ é o grupo de Heisenberg dado polas matrices$$H=\{\left[\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right]:a,b,c\in ℝ\}$$ten álxebra de Lie dada polo conxunto de matrices$$𝔥=\{\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]:a,b,c\in ℝ\}$$xa que podemos atopar un camiño $\gamma :(-1,1)\to H$ dando calquera número real nunha das entradas da matriz superior con $i<j$ (i-ésima fila e j-ésima columna). Daquela, para$$g=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$temos$$T_{g}H=g\cdot 𝔥=\{\left[\begin{array}{ccc}0& a& b+2c\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]:a,b,c\in ℝ\}$$que é igual ao conxunto orixinal de matrices.

Isto non sempre é así, por exemplo, no grupo$$G=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1/a\end{array}\right]:a,b\in ℝ,a\ne 0\}$$temos a súa álxebra de Lie como o conxunto de matrices$$𝔤=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& -a\end{array}\right]:a,b\in ℝ\}$$polo tanto para algunha matriz$$g=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1/2\end{array}\right]$$temos$$T_{g}G=\{\left[\begin{array}{cc}2a& 2b-3a\\ 0& -a/2\end{array}\right]:a,b\in ℝ\}$$que non é o mesmo conxunto de matrices.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro See section 1.6.
• Modelo:Cita libro See section 1.7 and 2.3.

Outros artigos

• Regresión.