Lista de sumas de recíprocos

En matemáticas e especialmente na teoría de números, a suma de recíprocos xeralmente calcúlase para os recíprocos dalgúns ou todos os positivos enteiros, é dicir, é a suma de fraccións unitarias. Se se suman infinitamente moitos recíprocos, xeralmente, os termos danse nunha determinada secuencia e súmanse os primeiros n elementos, daquela inclúese un máis para dar a suma dos primeiros n+1 elementos da sucesión, etc.

Se só se inclúen un número finito de números, a cuestión clave adoita ser atopar unha expresión sinxela para o valor da suma, ou esixir que a suma sexa menor que un determinado valor, ou determinar se a suma é algunha vez un número enteiro.

Para unha serie infinita de recíprocos, as cuestións son dobres: en primeiro lugar, diverxe a secuencia de sumas? é dicir, supera algún número dado? ou é unha serie converxente, o que significa que hai algún número ao que se achega arbitrariamente sen superar nunca?. (Un conxunto de enteiros positivos dise que é grande se a suma dos seus recíprocos diverxe, e pequeno se converxe.) En segundo lugar, se converxe, cal é unha expresión simple para o valor ao que converxe?, ese valor é racional ou irracional?, e ese valor é alxébrico ou transcendente?

Número finito de termos

• A media harmónica dunha cantidade finita de números é igual ao recíproco, ou inverso, da media aritmética dos recíprocos de ditos números.
• A ecuación óptica require a suma dos recíprocos de dous enteiros positivos a e b para igualar o recíproco dun terceiro número enteiro positivo c. Todas as solucións son dadas por $a=mn+m^2,b=mn+n^{2}c=mn$. Esta ecuación aparece en varios contextos en xeometría elemental.
• A conxectura de Fermat-Catalan refírese a unha determinada ecuación diofantiana, é que $a^m+b^n=c^k$ ten só un número finito de solucións cando $a,b,c$ son enteiros coprimos positivos e $m,n,k$ son enteiros positivos que satisfán $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$..
• O enésimo número harmónico, que é a suma dos recíprocos dos primeiros n enteiros positivos, nunca é un número enteiro excepto o caso n = 1. A maiores, József Kürschák demostrou en 1918 que a suma dos recíprocos dos números naturais consecutivos (xa sexa a partir de 1 ou non) nunca é un número enteiro.
• A suma dos recíprocos dos primeiros n primos non é un número enteiro para ningún n.
• Hai 14 combinacións distintas de catro enteiros de tal xeito que a suma dos seus recíprocos é 1, desas combinacións seis usan catro enteiros distintos e oito repiten polo menos un número enteiro.
• Unha fracción exipcia é a suma dun número finito de recíprocos de enteiros positivos. Segundo a proba do problema de Erdős-Graham, se o conxunto de enteiros maior que 1 está particionado nun número finito de subconxuntos, entón un dos subconxuntos pódese usar para formar unha representación en forma de fracción exipcia de 1.
• A conxectura de Erdős-Straus afirma que para todos os enteiros n ≥ 2, o número racional 4/n pódese expresar como a suma de tres recíprocos de enteiros positivos.
• O cociente de Fermat con base 2, que é $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ para un primo impar p, cando se expresa en mod p e multiplicado por –2, é igual á suma dos recíprocos mod p dos números que se atopan na primeira metade do rango {1, p - 1}.
• En calquera triángulo, a suma dos recíprocos das alturas é igual ao recíproco do raio do círculo inscrito (independentemente de se son ou non enteiros).
• Nun triángulo rectángulo, a suma dos recíprocos dos cadrados das alturas dos catetos (equivalentemente, dos cadrados dos propios catetos) é igual ao recíproco do cadrado da altura da hipotenusa (o teorema de Pitágoras inverso). Isto cúmprese se os números son enteiros ou non; hai unha fórmula (ver ternas pitagóricas) que xera todos os casos enteiros.
• Un triángulo non necesariamente no plano euclidiano pódese especificar como con ángulos $\frac{\pi }{p},$ $\frac{\pi }{q},$ e $\frac{\pi }{r}$. Daquela o triángulo está no espazo euclidiano se a suma dos recíprocos de p, q e r é igual a 1, é un espazo esférico se esa suma é maior que 1, é un espazo hiperbólico se a suma é inferior a 1.
• Un número divisor harmónico é un número enteiro positivo cuxos divisores teñen unha media harmónica que é un número enteiro. Os cinco primeiros deles son 1, 6, 28, 140 e 270. Non se sabe se algún número divisor harmónico (ademais de 1) é impar, pero non os hai impares inferiores a 10²⁴.
• A suma dos recíprocos dos divisores dun número perfecto é 2.
• Cando se distribúen oito puntos na superficie dunha esfera co obxectivo de maximizar a distancia entre eles nalgún sentido, a forma resultante corresponde a un antiprisma cadrado. Os métodos específicos para distribuír os puntos inclúen, por exemplo, minimizar a suma de todos os recíprocos de cadrados de distancias entre puntos.

Infinitamente moitos termos

Series converxentes

• Unha secuencia sen suma de números enteiros positivos crecentes é aquela para a que ningún número é a suma de ningún subconxunto dos anteriores. A suma dos recíprocos dos números en calquera secuencia sen suma é menor que Modelo:Math.

• A suma dos recíprocos do número heptagonal converxe a un valor coñecido que non só é irracional senón tamén transcendente, e para o que existe unha fórmula complicada.

• Sábese que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos, dos que non está demostrado que haxa infinitos, aínda que se supón que os hai, é finita e chámase constante de Brun, aproximadamente Modelo:Math.

• Sábese que a suma dos recíprocos dos Primos de Proth (o número deles pode ser finitamente moitos ou infinitos) é finita, Modelo:Nobr

• Os primos cádruples son pares de primos xemelgos con só un número impar entre eles. A suma dos recíprocos dos números primos cádruples é Modelo:Nobr

• A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados) Modelo:Nobr

• A suma dos recíprocos das potencias perfectas (excluíndo os duplicados) é aproximadamente Modelo:Math.

• A suma dos recíprocos das potencias $n^n$ é aproximadamente igual a Modelo:Math. A suma é exactamente igual á integral definida: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1x}{n^n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{x^x}.$

Esta identidade foi descuberta por Johann Bernoulli en 1697, e agora coñécese como unha das dúas identidades do soño do estudante de segundo ano (Sophomore's dream).

• O teorema de Goldbach-Euler afirma que a suma dos recíprocos dos números que son 1 menos que unha potencia perfecta (excluíndo os duplicados) é 1.
• A suma dos recíprocos de todos os números triangulares, sacado o cero, Modelo:Nobr

• A constante recíproca de Fibonacci é a suma dos recíprocos da secuencia de Fibonacci, que se sabe que é finita e irracional e aproximadamente igual a 3,3599. Para outras sumas finitas de subconxuntos dos recíprocos dos números de Fibonacci, consulte Número de Fibonacci.

• Un factorial exponencial é unha operación definida recursivamente como $a_0=1,a_n=n^{a_{n-1}}.$ Por exemplo, $a_4=4^{3^{2^1}}$ onde os expoñentes son avaliados de arriba abaixo. A suma dos recíprocos dos factoriais exponenciais a partir de 1 é aproximadamente 1.6111 e é transcendental.

• Un "número poderoso" é un número enteiro positivo para o cal cada primo que aparece na súa factorización aparece polo menos dúas veces. A suma dos recíprocos dos números poderosos é próxima a 1,9436.

• A suma dos recíprocos do factorial dá como suma o número e (constante matemática).

• A suma dos recíprocos dos números cadrados (o problema de Basilea), (Basel problem), é o número transcendente Modelo:Nobr sendo $\zeta$ a función zeta de Riemann.

• A suma dos recíprocos dos cubos de enteiros positivos chámase constante de Apéry $\zeta (3)$ e é igual a aproximadamente 1,2021. Este número é irracional, pero non se sabe se é ou non transcendente.

• Os recíprocos dos números enteiros non negativos potencias de 2 suman Modelo:Math (tendo en conta tamén $2^0=1$). Este é un caso particular da suma dos recíprocos de calquera serie xeométrica onde o primeiro termo e a razón común son enteiros positivos.

• A serie de Kempner é a suma dos recíprocos de todos os enteiros positivos que non conteñen o díxito "9" en Modelo:Nobr A diferenza da serie harmónica, que non exclúe eses números, esta serie converxe, concretamente a aproximadamente Modelo:Math.

• Un número palindrómico é aquel que permanece igual cando se inverten os seus díxitos. A suma dos recíprocos dos números palindrómicos converxe a aproximadamente Modelo:Math.

• Un número pentatópico é un número da quinta cela de calquera fila do triángulo de Pascal que comeza coa fila de cinco termos Modelo:Math. A suma dos recíprocos dos números pentatópicos é Modelo:Sfrac.

• A secuencia de Sylvester é unha secuencia de enteiros na que cada membro da secuencia é o produto dos membros anteriores máis un. Os primeiros termos da secuencia son Modelo:Math. A suma dos recíprocos dos números na secuencia de Sylvester Modelo:Nobr

• A función zeta de Riemann $\zeta (s)$ é unha función dunha variábel complexa $s$ que está definida, para valores complexos con parte real maior que $1$, pola suma da serie infinita $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$. Esta serie converxe se e só se a parte real de $s$ é maior que $1$.

• A suma dos recíprocos de todos os números de Fermat (números da forma $2^{(2^n)}+1$) Modelo:OEIS é irracional.

• A suma dos recíprocos do número oblongo (produtos de dous enteiros consecutivos ou duplo dos números triangulares) (excluíndo  Modelo:Math) é Modelo:Math.

Series diverxentes

• A suma parcial de Modelo:Math termos da harmónica, que é a suma dos recíprocos dos primeiros enteiros positivos Modelo:Math, diverxe a medida que Modelo:Math vai ao infinito, aínda que moi lentamente: A suma dos $10^{43}$ primeiros termos, é menor que Modelo:Math. A diferenza entre a suma acumulada e o logaritmo natural de Modelo:Math converxe á constante de Euler-Mascheroni, comunmente denotada como $\gamma$, que é aproximadamente Modelo:Math.

• A suma dos recíprocos dos primos diverxe.

• A forma forte do teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas implica que a suma dos recíprocos dos primos da forma Modelo:Nobr é diverxente.
• Do mesmo xeito, a suma dos recíprocos dos primos da forma Modelo:Nobr é diverxente. Polo teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados, dedúcese que a suma de recíprocos de números da forma $a^2+b^2$, onde Modelo:Math e Modelo:Math son enteiros non negativos, non ambos os dous iguais a Modelo:Math, diverxe, con ou sen repetición.

• Se Modelo:Math é calquera serie ascendente de números enteiros positivos coa propiedade de que existe Modelo:Math tal que Modelo:Math para todos os Modelo:Math, daquela a suma dos recíprocos $\frac{1}{a(k)}$ diverxe.

• A conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas afirma que se a suma dos recíprocos dos membros dun conxunto Modelo:Math de enteiros positivos diverxe, entón Modelo:Math contén progresións aritméticas de calquera lonxitude, por grande que sexa. Ata o 2020 a conxectura segue sen estar probada.

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxunto grande
• Suma de cadrados
• Suma de potencias

Modelo:Control de autoridades