Progresión aritmética

Modelo:1000 artigos icona título En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é $a_1$ e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión ($a_n$) vén dado por:

$a_n=a_1+(n-1)d$,

e en xeral

$a_n=a_m+(n-m)d$.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:

• Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
• Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

Suma

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.

A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:

$2+5+8+11+14$

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

No caso superior dá a ecuación:

$2+5+8+11+14=\frac{5(2+14)}{2}=\frac{5\times 16}{2}=40.$

Esta fórmula funciona para calquera números reais $a_1$ e $a_n$. Por exemplo:

$(-\frac{3}{2})+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{3(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})}{2}=-\frac{3}{2}.$

Obtención da fórmula

Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.

Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:

$2S_n=n(a_1+a_n).$

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n).$

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: $a_n=a_1+(n-1)d$:

$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d].$

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: $S_n/n$:

$\bar{n}=\frac{a_1+a_n}{2}.$

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).

Produto

O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a₁, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión

$a_1{a}_2\cdots a_n=d\frac{a_1}{d}d(\frac{a_1}{d}+1)d(\frac{a_1}{d}+2)\cdots d(\frac{a_1}{d}+n-1)=d^n{\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\bar{n}}=d^n\frac{\mathrm{\Gamma }(a_1/d+n)}{\mathrm{\Gamma }(a_1/d)},$

onde $x^{\bar{n}}$ denota o factorial crecente e $\mathrm{\Gamma }$ a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se $a_1/d$ é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión $1\times 2\times \cdots \times n$ vén dado polo factorial $n!$ e que o produto

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

para enteiros positivos $m$ e $n$ vén dado por

$\frac{n!}{(m-1)!}.$

No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por a_n = 3 + (n-1)(5) é

$P_{50}=5^{50}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(3/5+50)}{\mathrm{\Gamma }(3/5)}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

Desviación típica

A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante:

$\sigma =|d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}$

onde $n$ é o número de termos da progresión e $d$ a diferenza entre os termos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Progresión xeométrica