Número triangular

Os seis primeiros números triangulares

Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O Modelo:Math-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con Modelo:Math puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos Modelo:Math números naturais de 1 a Modelo:Math. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é Modelo:Bloque indentado Modelo:OEIS

Fórmula

Modelo:Pascal triangle simplex numbers.svgOs números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas: Modelo:Bloque indentado O feito de que o $n$ o número triangular é igual $n(n+1)/2$ pódese ilustrar mediante unha proba visual. O exemplo $T_4$: Modelo:Bloque indentado

O número triangular Modelo:Math resolve o problema do apretón de mans de contar o número de apretóns de mans se cada persoa nunha habitación con Modelo:Math persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apretón de mans de Modelo:Math persoas é Modelo:Math. A función Modelo:Math é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a Modelo:Math.

Relacións con outros números figurados

Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,$$T_n+T_{n-1}=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{{(n-1)}^2}{2}+\frac{n-1}{2})=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2})=n^2=(T_n-T_{n-1}{)}^2.$$Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:$$S_{n+1}=4S_n(8S_n+1)$$con $S_1=1.$

Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividade$$S_n=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$$con $S_0=0$ e $S_1=1.$

Ademais, o cadrado do Modelo:Math-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a Modelo:Math. Isto tamén se pode expresar como$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2.$$A suma dos Modelo:Mvar primeiros números triangulares é o Modelo:Math ésimo número tetraédrico:$$\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$A diferenza positiva de dous números triangulares é un número trapezoidal.

Outras propiedades

Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmula$$M_p{2}^{p-1}=\frac{M_p(M_p+1)}{2}=T_{M_p}$$onde Modelo:Math é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero é$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{n^2+n}{2}}=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+n}=2.$$Isto pódese mostrar usando a suma básica dunha serie telescópica (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro):$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots )=1.$$Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares son$$T_{a+b}=T_a+T_b+ab$$e$$T_{ab}=T_a{T}_b+T_{a-1}{T}_{b-1},$$En 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo Modelo:Math = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! Modelo:Nowrap ".

O maior número triangular da forma Modelo:Math é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.

Aplicacións

O número máximo de partes, p que obtemos con n cortes rectos é o n-ésimo número triangular máis un, formando a secuencia Modelo:OEIS

Unha rede totalmente conectada de Modelo:Math dispositivos informáticos require a presenza de Modelo:Math cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre Modelo:Math equipos é igual ao número triangular Modelo:Math. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.

Raíces triangulares e probas de números triangulares

Por analoxía coa raíz cadrada de Modelo:Mvar, pódese definir a raíz triangular (positiva) de Modelo:Mvar como o número Modelo:Math tal que Modelo:Math: $$n=\frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}$$que segue inmediatamente da fórmula cadrática. Polo tanto, un número enteiro Modelo:Mvar é triangular se e só se Modelo:Math é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva Modelo:Mvar de Modelo:Mvar é un número enteiro, entón Modelo:Mvar é o Modelo:Mvar-ésimo número triangular.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:SpringerEOM
• Triangular numbers at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Modelo:MathWorld
• Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard,