Serie converxente

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ define unha serie Modelo:Mvar que se denota

$S=a_1+a_2+a_3+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k.$

A Modelo:Math-ésima suma parcial Modelo:Math é a suma dos Modelo:Math primeiros termos da secuencia; é dicir,

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

Unha serie é converxente (ou converxe) se e só se a secuencia $(S_1,S_2,S_3,\dots )$ das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un $a_k$ despois do outro, na orde dada polos índices, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número $\ell$ tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno $\epsilon$, hai un enteiro (suficientemente grande). $N$ tal que para todos os $n\ge N$,

$|S_n-\ell |<\epsilon .$

Se a serie é converxente, o número (necesariamente único) $\ell$ chámase suma da serie.

A mesma notación

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma: Modelo:Math que denota a operación de sumar Modelo:Mvar e Modelo:Mvar , así como o resultado desta suma, que se chama suma de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar.

Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe.

Exemplos de series converxentes e diverxentes

• Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$

• Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\ln (2)$

• Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente:

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$

• Os recíprocos dos números triangulares producen unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\cdots =2.$

• Os recíprocos dos factoriais producen unha serie converxente (ver número e):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =e.$

• Os recíprocos dos números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}.$

• Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2.$

• Os recíprocos dos potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n-1}.$

• Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots =\frac{2}{3}.$

• Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n+1}.$

• Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\cdots =\psi .$

Tests de converxencia

Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe.

Se a serie azul, $\mathrm{\Sigma }{b}_n$, pódese probar que converxe, entón a serie menor, $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ debe converxer. Por contraposición, se a serie vermella $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ está demostrado que diverxe, entón $\mathrm{\Sigma }{b}_n$ tamén debe diverxer.

Se unha serie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é converxente entón $\underset{a_n\to \mathrm{\infty }}{\lim }=0$. Esta é unha condición necesaria mais non suficiente pois, por exemplo, a serie harmónica ten o termo enésimo con valor cero cando tende a infinito e porén é unha serie diverxente.

Test de comparación. Os termos da secuencia $\left\{a_n\right\}$ compáranse cos doutra secuencia $\left\{b_n\right\}$. Se, para todo n, $0\le a_n\le b_n$, e ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converxe, entón tamén o fai ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

No entanto, se, para todo n, $0\le b_n\le a_n$, e ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverxe, entón tamén o fai ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Test da razón (ou ratio). Supón que para todo n, $a_n$ non é cero. Supoñamos que existe $r$ tal que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

Se r < 1, entón a serie é absolutamente converxente. Se Modelo:Nowrap a serie diverxe. Se Modelo:Nowrap a proba da razón non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test de raíz ou proba de raíz enésima. Supoña que os termos da secuencia en cuestión non son negativos. Definimos r do seguinte xeito:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

onde "lim sup" denota o límite superior.

Se r < 1, a serie converxe. Se Modelo:Nowrap a serie diverxe. Se Modelo:Nowrap a proba da raíz non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test da integral. A serie pódese comparar cunha integral para estabelecer a converxencia ou a diverxencia. Sexa $f(n)=a_n$ unha función positiva e monótonamente decrecente. Se

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.

Test de comparación de límites . Se $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$, e o límite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existe e non é cero, entón ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converxe se e só se ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converxe.

Test de serie alternada. Tamén coñecido como criterio de Leibniz. A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-1{)}^n$, se $\left\{a_n\right\}$ é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.

Test de condensación de Cauchy. Se $\left\{a_n\right\}$ é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converxe se e só se ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ converxe.

Test de Dirichlet. O test indica que se $(a_n)$ é unha secuencia monótona de números reais con $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ e $(b_n)$ é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

converxe.

Test de Abel. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras:

1. $\sum a_n$ é unha serie converxente,
2. $b_n$ é unha secuencia monótona e
3. $b_n$ está limitada.

Daquela $\sum a_n{b}_n$ tamén é converxente.

Converxencia condicional e absoluta

Se a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ converxe daquela a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.

Se a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converxe pero a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ diverxe, entón a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo $\ln (1+x)$ é condicionalmente converxente para Modelo:Math.

O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series.

Converxencia uniforme

Sexa $\{f_1,f_2,f_3,\dots \}$ unha secuencia de funcións. A serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ dise que converxe uniformemente a f se a secuencia $\{s_n\}$ de sumas parciais definidas por

$s_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

converxe uniformemente a f.

Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass.

Criterio de converxencia de Cauchy

O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada $\epsilon >0,$ hai un número enteiro positivo $N$ tal que para todos os $n\ge m\ge N$ temos que

$\left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|<\epsilon .$

Isto é equivalente a

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{n>m}{\sup }\left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|\right)=0.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Lista de series matemáticas
• Función zeta de Riemann

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Consultado o 16 de maio de 2005.