Problema de Basilea

O problema de Basilea (ou Basel problem en inglés) é un problema de análise matemática con relevancia para a teoría de números, relativo a unha suma infinita dos inversos dos enteiros positivos ao cadrado. Foi formulada por primeira vez por Pietro Mengoli en 1650 e resolvida por Leonhard Euler en 1734, e lida o 5 de decembro de 1735 na Academia de Ciencias de San Petersburgo. Dado que o problema resistira os ataques dos principais matemáticos da época, a solución de Euler levoulle a fama inmediata cando tiña vinte e oito anos. Euler xeneralizou o problema considerablemente, e as súas ideas foron retomadas máis dun século despois por Bernhard Riemann no seu artigo fundamental de 1859 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", no que definía a súa función zeta e demostraba as súas propiedades básicas.O problema recibe o nome da cidade de Basilea, cidade natal de Euler, así como da familia Bernoulli que atacou o problema sen éxito.

O problema de Basilea pide a suma precisa dos recíprocos dos cadrados dos números naturais, é dicir, a suma precisa da serie infinita:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots .$

A suma da serie é aproximadamente igual a 1.644934. O problema de Basilea pide a suma exacta desta serie (en forma pechada), así como unha proba de que esta suma é correcta. Euler atopou a suma exacta ${\pi }^2/6$ e anunciou este descubrimento en 1735. Os seus argumentos baseáronse en manipulacións que non estaban xustificadas naquel momento, aínda que posteriormente se demostrou que era correcto. Euler deu unha proba aceptada en 1741.

A solución a este problema pódese usar para estimar a probabilidade de que dous números aleatorios grandes sexan coprimos. Dous enteiros aleatorios no intervalo de 1 a $n$, no límite cando $n$ tende ao infinito, son relativamente primos cunha probabilidade que se achega $6/{\pi }^2$, o recíproco da solución ao problema de Basilea.

Enfoque de Euler

Para seguir o argumento de Euler, lembre a expansión da serie de Taylor da función seno

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Dividindo por $x$ dá

$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots .$

O teorema de factorización de Weierstrass mostra que o lado dereito é o produto de factores lineares dados polas súas raíces, igual que para polinomios finitos. Euler asumiu isto como unha heurística para expandir un polinomio de graos infinitos en termos das súas raíces (aínda que realmente non sempre é certo para o caso xeral de calquera $P(x)$). Esta factorización expande a ecuación en:

$\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}& =(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots \end{array}$

Se multiplicamos formalmente este produto e recollemos todos os termos Modelo:Math (permítenos facelo debido ás identidades de Newton), vemos que o coeficiente Modelo:Math de Modelo:Math é

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Mais a partir da expansión orixinal da serie infinita de Modelo:Math, o coeficiente de Modelo:Math é Modelo:Math.

Multiplicando os dous lados desta ecuación por −Modelo:Pi² dá a suma dos recíprocos dos enteiros cadrados positivos,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Este método de cálculo de $\zeta (2)$ detállase de xeito expositivo, sobre todo no libro Gamma de Havil, que detalla moitas series e integrais relacionadas co logaritmo e a función zeta, así como unha perspectiva histórica relacionada coa constante gamma de Euler.

Xeneralizacións do método de Euler mediante polinomios simétricos elementais

Usando as fórmulas obtidas a partir de polinomios simétricos elementais, este mesmo enfoque pódese usar para enumerar fórmulas para as constantes zeta pares (as zetas de índice par) que teñen a seguinte fórmula coñecida relacionada cos números de Bernoulli:

$\zeta (2n)=\frac{(-1{)}^{n-1}(2\pi {)}^{2n}}{2\cdot (2n)!}{B}_{2n}.$

Por exemplo, sexa o produto parcial para $\sin (x)$ expandido definido como anteriormente $\frac{S_n(x)}{x}:=\prod _{k=1}^n(1-\frac{x^2}{k^2\cdot {\pi }^2})$. Agora usando as as fórmulas de Newton expandidas en termos de identidades de suma de potencias, podemos ver (por exemplo) que

$\begin{array}{cc}\left[x^4\right]\frac{S_n(x)}{x}& =\frac{1}{2{\pi }^4}({\left(H_n^{(2)}\right)}^2-H_n^{(4)})\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\frac{1}{2{\pi }^4}(\zeta (2{)}^2-\zeta (4))\\ & ⟹\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}=-2{\pi }^4\cdot [x^4]\frac{\sin (x)}{x}+\frac{{\pi }^4}{36}\\ \left[x^6\right]\frac{S_n(x)}{x}& =-\frac{1}{6{\pi }^6}({\left(H_n^{(2)}\right)}^3-2H_n^{(2)}{H}_n^{(4)}+2H_n^{(6)})\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\frac{1}{6{\pi }^6}(\zeta (2{)}^3-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6))\\ & ⟹\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}=-3\cdot {\pi }^6[x^6]\frac{\sin (x)}{x}-\frac{2}{3}\frac{{\pi }^2}{6}\frac{{\pi }^4}{90}+\frac{{\pi }^6}{216},\end{array}$

e así sucesivamente para os coeficientes posteriores de $[x^{2k}]\frac{S_n(x)}{x}$ .

Tamén podemos ir por unha vía máis directa para expresar fórmulas non recursivas para $\zeta (2k)$ utilizando as identidades de Newton para os polinomios simétricos elementais comparando con unha serie formal de potencias mediante

$(-1{)}^{k}k{e}_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j=1}^k(-1{)}^{k-j-1}{p}_j(x_1,\dots ,x_n)e_{k-j}(x_1,\dots ,x_n),$

que na nosa situación equivale á relación (ou función xeradora de convolución ou produto) expandida como

$\frac{{\pi }^{2k}}{2}\cdot \frac{(2k)\cdot (-1{)}^k}{(2k+1)!}=-[x^{2k}]\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\times \sum _{i\ge 1}\zeta (2i)x^i.$

Daquela, por diferenciación e reordenación dos termos da ecuación anterior, obtemos que

$\zeta (2k)=[x^{2k}]\frac{1}{2}(1-\pi x\cot (\pi x)).$

Consecuencias da demostración de Euler

Polos resultados anteriores, podemos concluír que $\zeta (2k)$ é sempre un múltiplo racional de ${\pi }^{2k}$. En particular, xa que $\pi$ e as súas potencias enteiras son transcendentais, podemos concluír neste punto que $\zeta (2k)$ é irracional, e máis precisamente, transcendental para todos os $k\ge 1$.

Pola contra, as propiedades das constantes zeta de índices impares, incluída a constante de Apéry $\zeta (3)$, son case completamente descoñecidas.

Función zeta de Riemann

A función zeta de Riemann Modelo:Math é unha das funcións máis significativas das matemáticas pola súa relación coa distribución dos números primos . A función zeta defínese para calquera número complexo Modelo:Math con parte real maior que 1 pola seguinte fórmula:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

Tomando Modelo:Math, vemos que Modelo:Math é igual á suma dos recíprocos dos cadrados de todos os números enteiros positivos, e por tanto o problema de Basel é o mesmo que coñecer o valor de zeta de 2:

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.644934.$

Modelo:OEIS.

Unha demostración mediante a fórmula de Euler e a regra de L'Hôpital

A función sinc normalizada $\text{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ ten unha representación como factorización de Weierstrass como un produto infinito:

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2}).$

O produto infinito é analítico, polo que tomando o logaritmo natural de ambos os lados e diferenciando, temos

$\frac{\pi \cos (\pi x)}{\sin (\pi x)}-\frac{1}{x}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{n^2-x^2}$

(por converxencia uniforme, pódese trocar a derivada pola serie infinita). Despois de dividir a ecuación entre $2x$ e reagrupando obtemos

$\frac{1}{2x^2}-\frac{\pi \cot (\pi x)}{2x}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-x^2}.$

Facemos un cambio de variábeis ($x=-it$):

$-\frac{1}{2t^2}+\frac{\pi \cot (-\pi it)}{2it}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+t^2}.$

Pódese usar a fórmula de Euler para deducir que

$\frac{\pi \cot (-\pi it)}{2it}=\frac{\pi }{2it}\frac{i(e^{2\pi t}+1)}{e^{2\pi t}-1}=\frac{\pi }{2t}+\frac{\pi }{t(e^{2\pi t}-1)}.$ ou usando a función hiperbólica correspondente:

$\frac{\pi \cot (-\pi it)}{2it}=\frac{\pi }{2t}i\cot (\pi it)=\frac{\pi }{2t}\coth (\pi t).$

Daquela

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+t^2}=\frac{\pi (t{e}^{2\pi t}+t)-e^{2\pi t}+1}{2(t^2{e}^{2\pi t}-t^2)}=-\frac{1}{2t^2}+\frac{\pi }{2t}\coth (\pi t).$

Agora tomamos o límite cando $t$ achégase a cero e utilizamos a a regra de L'Hôpital tres veces. Polo teorema de Tannery aplicado a $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}1/(n^2+1/t^2)$, podemos trocar o límite e a serie infinita, así temos $\underset{t\to 0}{\lim }{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}1/(n^2+t^2)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}1/n^2$ e pola regra de L'Hôpital

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\pi }{4}\frac{2\pi t{e}^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^2{e}^{2\pi t}+t{e}^{2\pi t}-t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\pi }^{3}t{e}^{2\pi t}}{2\pi (\pi t^2{e}^{2\pi t}+2t{e}^{2\pi t})+e^{2\pi t}-1}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\pi }^2(2\pi t+1)}{4{\pi }^2{t}^2+12\pi t+6}\\ & =\frac{{\pi }^2}{6}.\end{array}$

Proba usando a diferenciación baixo o signo integral

É posíbel demostrar o resultado usando cálculo elemental aplicando a técnica da diferenciación baixo o signo de integral a unha integral debida a Freitas:

$I(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1+\alpha e^{-x}+e^{-2x})dx.$

Aínda que a función primitiva do integrando non se pode expresar en termos de funcións elementais, ao diferenciar en relaión a $\alpha$ chegamos a

$\frac{dI}{d\alpha }=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}dx,$

que se pode integrar mediante substitución $u=e^{-x}$ e descompoñendo en fraccións simples. No intervalo $-2\le \alpha \le 2$ a integral definida redúcese a

$$\frac{dI}{d\alpha }=\frac{2}{\sqrt{4-{\alpha }^2}}[\arctan \left(\frac{\alpha +2}{\sqrt{4-{\alpha }^2}}\right)-\arctan \left(\frac{\alpha }{\sqrt{4-{\alpha }^2}}\right)].$$

A expresión pódese simplificar mediante a fórmula de adición de arcotanxentes e integrada en relación a $\alpha$ mediante a substitución trigonométrica, resultando

$I(\alpha )=-\frac{1}{2}\arccos {\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2+c.$

A constante de integración $c$ pódese determinar observando que dous valores distintos de $I(\alpha )$ están relacionados por

$I(2)=4I(0),$

porque ao calcular $I(2)$ podemos factorizar $1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x}{)}^2$ e expresalo en termos de $I(0)$ usando o logaritmo dunha potencia e a substitución $u=x/2$. Isto fai posíbel determinar $c=\frac{{\pi }^2}{6}$, polo que se deduce

$I(-2)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1-e^{-x})dx=-\frac{{\pi }^2}{3}.$

Esta integral final pódese avaliar expandindo o logaritmo natural na súa serie de Taylor:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-nx}}{n}dx=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

As dúas últimas identidades implican

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

A proba de Cauchy

Aínda que a maioría das probas usan resultados de matemáticas avanzadas, como análise de Fourier, análise complexa e cálculo multivariábel, a seguinte proba nin sequera require cálculo dunha soa variábel (so fai falta un único límite ao final).

Historia desta proba

A proba remóntase a Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, Nota VIII). En 1954, esta proba apareceu no libro de Akiva e Isaak Yaglom "Nonelementary Problems in an Elementary Exposition". Máis tarde, en 1982, apareceu na revista Eureka, atribuída a John Scholes, pero Scholes afirma que aprendeu a proba de Peter Swinnerton-Dyer e, en calquera caso, sostén que a proba era "de coñecemento común na Cambridge a finais de 1960".

A proba

A desigualdade
$\frac{1}{2}{r}^2\tan \theta >\frac{1}{2}{r}^2\theta >\frac{1}{2}{r}^2\sin \theta$
móstrase gráficamente para calquera $\theta \in (0,\pi /2)$. Os tres termos son as áreas do triángulo OAC, a sección circular OAB e o triángulo OAB. Tomando recíprocos e elevando ao cadrado dá
${\cot }^2\theta <\frac{1}{{\theta }^2}<{\csc }^2\theta$.

A idea principal detrás da demostración é limitar as sumas parciais (finitas).

$\sum _{k=1}^m\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{m^2}$

entre dúas expresións, onde cada unha delas tenderá a Modelo:Sfrac a medida que Modelo:Math se achegue ao infinito. As dúas expresións derivan de identidades que implican as funcións cotanxente e cosecante. Estas identidades derivan á súa vez da fórmula de De Moivre e agora pasamos a estabelecer estas identidades.

Sexa Modelo:Math un número real con Modelo:Math, e sexa Modelo:Math un enteiro impar positivo. Entón a partir da fórmula de De Moivre e da definición da función cotanxente, temos

$\begin{array}{cc}\frac{\cos (nx)+i\sin (nx)}{{\sin }^{n}x}& =\frac{(\cos x+i\sin x{)}^n}{{\sin }^{n}x}\\ [4pt]& ={\left(\frac{\cos x+i\sin x}{\sin x}\right)}^n\\ & =(\cot x+i{)}^n.\end{array}$

Do teorema binomial temos

$\begin{array}{cc}(\cot x+i{)}^n=& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}){\cot }^{n}x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})({\cot }^{n-1}x)i+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})(\cot x)i^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})i^n\\ =& ((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}){\cot }^{n}x-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\cot }^{n-2}x\pm \cdots )+i((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}){\cot }^{n-1}x-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\cot }^{n-3}x\pm \cdots ).\end{array}$

A combinación das dúas ecuacións e a igualación de partes imaxinarias dá a identidade

$\frac{\sin (nx)}{{\sin }^{n}x}=((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}){\cot }^{n-1}x-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\cot }^{n-3}x\pm \cdots ).$

Tomamos esta identidade, fixamos un enteiro positivo Modelo:Math, estabelecemos Modelo:Math e consideramos Modelo:Math para Modelo:Math. Entón Modelo:Math é un múltiplo de Modelo:Pi e, polo tanto, Modelo:Math. Entón,

$0=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{1}){\cot }^{2m}{x}_r-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{3}){\cot }^{2m-2}{x}_r\pm \cdots +(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{2m+1})$,

por cada Modelo:Math. Os valores Modelo:Math son números distintos no intervalo Modelo:Math. Dado que a función Modelo:Math é un a un neste intervalo, os números Modelo:Math son distintos para Modelo:Math. Pola ecuación anterior, estes números Modelo:Math son as raíces do polinomio de grao Modelo:Math $$p(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{1})t^m-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{3})t^{m-1}\pm \cdots +(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{2m+1}).$$

Mediante as fórmulas de Viète podemos calcular a suma das raíces directamente examinando os dous primeiros coeficientes do polinomio, e esta comparación mostra que

${\cot }^2{x}_1+{\cot }^2{x}_2+\cdots +{\cot }^2{x}_m=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{1})}=\frac{2m(2m-1)}{6}.$

Substituíndo a identidade Modelo:Math, temos

${\csc }^2{x}_1+{\csc }^2{x}_2+\cdots +{\csc }^2{x}_m=\frac{2m(2m-1)}{6}+m=\frac{2m(2m+2)}{6}.$

Considere agora a desigualdade Modelo:Math (ilustrado xeométricamente arriba). Se sumamos todas estas desigualdades para cada un dos números Modelo:Math, e se usamos as dúas identidades anteriores, obtemos

$\frac{2m(2m-1)}{6}<{\left(\frac{2m+1}{\pi }\right)}^2+{\left(\frac{2m+1}{2\pi }\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{2m+1}{m\pi }\right)}^2<\frac{2m(2m+2)}{6}.$

Multiplicando por Modelo:Math, isto pasa a ser

$\frac{{\pi }^2}{6}\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m-1}{2m+1}\right)<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{m^2}<\frac{{\pi }^2}{6}\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m+2}{2m+1}\right).$

A medida que Modelo:Math achégase ao infinito, as expresións da esquerda e da dereita achéganse cada unha a Modelo:Sfrac, por tanto polo teorema do emparedado (unha serie no medio de dúas que teñen o mesmo límite),

$\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{m^2})=\frac{{\pi }^2}{6}$

e isto completa a proba.

Outras identidades

Ver o artigo da función zeta de Riemann para $s=2.$. Outras identidades aparecen aquí embaixo.

Representacións como serie

As seguintes son representacións da constante como serie:

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =3\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}.\end{array}$

Tamén hai expanansións en serie do tipo BBP para Modelo:Math.

Representacións con integrais

As seguintes son representacións con integrais de $\zeta (2)\text{:}$

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log x}{1-x}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(\log x{)}^2}{(1+x{)}^2}dx\\ & =2+2\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor -x}{x^3}dx\\ & =\exp \left(2\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\pi (x)}{x(x^2-1)}dx\right)\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dxdy}{1-xy}\\ & =\frac{4}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dxdy}{1-(xy{)}^2}\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x}{1-xy}dxdy+\frac{2}{3}.\end{array}$

Fraccións continuas

No artigo clásico de van der Poorten que relata a A proba de Apéry da irracionalidade de $\zeta (3)$, o autor sinala a semellanza dunha fracción continua simple para a constante de Apery e a seguinte para a constante de Basilea:

$\frac{\zeta (2)}{5}=\frac{1}{{\tilde{v}}_1-\frac{1^4}{{\tilde{v}}_2-\frac{2^4}{{\tilde{v}}_3-\frac{3^4}{{\tilde{v}}_4-\ddots }}}},$

onde ${\tilde{v}}_n=11n^2-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\dots \}$. Outra fracción continua dun aspecto semellante é:

$\frac{\zeta (2)}{2}=\frac{1}{v_1-\frac{1^4}{v_2-\frac{2^4}{v_3-\frac{3^4}{v_4-\ddots }}}},$

onde $v_n=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\dots \}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos.
• Función zeta de Riemann.

Ligazóns externas

• Zeta(2) (OEIS)
• An infinite series of surprises by C. J. Sangwin
• Modelo:Cita web,
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web
• Robin Chapman, Evaluating Modelo:Math (14 probas)
• Visualization of Euler's factorization of the sine function
• Modelo:Cita web
  • Modelo:YouTube (animated proof based on the above)