Primo xemelgo

Un número primo xemelgo é un número primo que é 2 menos ou 2 máis que outro número primo, por exemplo, un membro do parModelo:Nowrap ou do par Modelo:Nowrap Noutras palabras, un primo xemelgo é un primo que ten un intervalo entre primos de dous. Tamén pode darse o nome a ambos os dous como par primo.

Os primos xemelgos vólvense cada vez máis raros a medida que se examinan intervalos máis grandes, de acordo coa tendencia xeral das diferenzas entre números primos adxacentes a facerse máis grandes a medida que os propios números se fan máis grandes. Porén, descoñécese se hai infinitos números primos xemelgos (a chamada conxectura dos primos xemelgos). O significativo avance dado polo traballo de Yitang Zhang no 2013, así como o traballo de James Maynard, Terence Tao e outros, foi un progreso substancial para demostrar que hai infinitos números primos xemelgos, mais polo momento isto segue sen resolverse. Modelo:Unsolved

Propiedades

Os primeiros pares primos xemelgos son (sen considerar o 2)

Modelo:Math Modelo:Math Modelo:Math Modelo:Math Modelo:OEIS

Cinco é o único primo que pertence a dous pares, xa que cada par primo xemelgo maior que Modelo:Math ten a forma $(6n-1,6n+1)$ para algún número natural Modelo:Mvar; é dicir, o número entre os dous primos é múltiplo de 6. Por tanto, a suma de calquera par de primos xemelgos (que non sexan 3 e 5) é divisible por 12.

Teorema de Brun

En 1915, Viggo Brun demostrou que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos era converxente. Este famoso resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso da criba de Brun e axudou a iniciar o desenvolvemento da moderna teoría da criba. A versión moderna do argumento de Brun pode usarse para mostrar que o número de primos xemelgos menores que Modelo:Mvar non supera

$\frac{CN}{(\log N{)}^2}$

para algunha constante Modelo:Nowrap De feito, está limitado superiormente por $$\frac{8C_{2}N}{(\log N{)}^2}[1+𝒪\left(\frac{\log \log N}{\log N}\right)],$$ onde $C_2$ é a constante primo xemelgo (lixeiramente menor que 2/3), que se indica a continuación.

Conxectura dos primos xemelgos

A cuestión de se existen infinitos números primos xemelgos ten sido unha das grandes cuestións abertas na teoría dos números durante moitos anos. En 1849, de Polignac fixo a conxectura máis xeral de que para cada número natural Modelo:Mvar, hai infinitos números primos Modelo:Mvar tal que Modelo:Nowrap tamén é primo. O Modelo:Nowrap da conxectura de Polignac é a conxectura do primo xemelgo.

Unha forma máis forte da conxectura do primo xemelgo, a conxectura de Hardy-Littlewood (ver máis abaixo), postula unha lei de distribución para os primos xemelgos semellante ao teorema dos números primos.

O 17 de abril do 2013, Yitang Zhang anunciou unha proba de que para algún Modelo:Mvar enteiro que é inferior a 70 millóns, hai infinitos pares de primos que difiren en Modelo:Mvar. O artigo de Zhang foi aceptado a principios de maio do 2013. Terence Tao propuxo posteriormente un proxecto colaborativo, o Proxecto Polymath, para optimizar o límite de Zhang.

A partir do 14 abril do 2014, un ano despois do anuncio de Zhang, o límite reduciuse a 246. Estes límites mellorados foron descubertos mediante un enfoque diferente que era máis sinxelo que o de Zhang e foi descuberto de forma independente por James Maynard e Terence Tao. Este segundo enfoque tamén deu límites para o Modelo:Nowrap máis pequeno necesario para garantir que infinitos intervalos de ancho Modelo:Math conteñan polo menos Modelo:Mvar primos. A maiores (ver tamén a seguinte sección) asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam e a súa forma xeneralizada, a wiki do Proxecto Polymath afirma que a cota é 12 e 6, respectivamente.

Un fortalecemento da conxectura de Goldbach, se se proba, tamén probaría que hai un número infinito de primos xemelgos, así como a existencia de ceros de Siegel.

Outros teoremas máis febles que a conxectura dos primos xemelgos

En 1940, Paul Erdős demostrou que hai unha constante Modelo:Math e infinitos números primos Modelo:Mvar tal que Modelo:Math onde Modelo:Mvar denota o seguinte primo despois de Modelo:Mvar. O que isto significa é que podemos atopar infinitos intervalos que conteñan dous primos Modelo:Math sempre que estes intervalos medren lentamente en tamaño mentres pasamos a números primos cada vez máis grandes. Aquí, "medrar lentamente" significa que a lonxitude destes intervalos pode crecer logarítmicamente. Este resultado foi mellorando sucesivamente; en 1986 Helmut Maier demostrou que se pode utilizar unha constante Modelo:Math. En 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım demostraron que a constante podería mellorarse aínda máis ata Modelo:Nowrap En 2005, Goldston, Pintz e Yıldırım estabeleceron que Modelo:Mvar se pode escoller para que sexa arbitrariamente pequeno, é dicir

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\left(\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}\right)=0.$

Asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam ou unha versión lixeiramente feble, puideron demostrar que hai infinitos Modelo:Mvar tal que polo menos dous de Modelo:Mvar, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math ou Modelo:Math son primos. Baixo unha hipótese máis forte demostraron que para infinitos Modelo:Mvar, polo menos dous de Modelo:Mvar, Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math son primos.

O resultado de Yitang Zhang,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(p_{n+1}-p_n)<N\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}N=7\times 10^7,$

é unha gran mellora no resultado Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. A optimización do proxecto Polymath do límite de Zhang e o traballo de Maynard reduciron o límite: o límite inferior é como máximo 246.

Conxecturas

Primeira conxectura de Hardy-Littlewood

A primeira conxectura de Hardy-Littlewood (chamada en honor a GH Hardy e John Littlewood) é unha xeneralización da conxectura dos primos xemelgos. Trata da distribución de constelacións de primos, incluíndo números primos xemelgos, en analoxía co teorema dos números primos. Modelo:Tmath denota o número de primos Modelo:Math tal que Modelo:Math tamén é primo. Definimos a constante primo xemelgo Modelo:Math como $$C_2=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e},}{p\ge 3}}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})\approx 0.660161815846869573927812110014\dots .$$ (Aquí o produto esténdese sobre todos os números primos Modelo:Math), daquela un caso especial da primeira conxectura de Hardy-Littlewood resulta en$${\pi }_2(x)\sim 2C_2\frac{x}{(\ln x{)}^2}\sim 2C_2\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t{)}^2}$$ no sentido de que o cociente das dúas expresións tende a 1 cando Modelo:Mvar se achega ao infinito. (O segundo ~ non forma parte da conxectura e está demostrado pola integración por partes).

A conxectura pódese xustificar (mais non probarse) supoñendo que $\frac{1}{\ln t}$ describe a función de densidade da distribución dos primos. Esta suposición, que é suxerida polo teorema dos números primos, implica a conxectura dos primos xemelgos, como se mostra na fórmula para Modelo:Tmath.

A conxectura de Polignac

A conxectura de Polignac de 1849 afirma que para cada número enteiro par positivo Modelo:Mvar, hai infinitos pares primos consecutivos Modelo:Mvar e Modelo:Mvar tal que Modelo:Math (é dicir, hai infinitos intrvalos entre primos de tamaño Modelo:Mvar ). O caso Modelo:Math é a conxectura dos primos xemelgos. A conxectura aínda non foi comprobada nin desmentida para ningún valor específico de Modelo:Mvar, mais o resultado de Zhang demostra que é certo para polo menos un valor de Modelo:Mvar (actualmente descoñecido). De feito, se tal Modelo:Mvar non existise, daqula para calquera número natural par positivo Modelo:Mvar hai como máximo un número finito Modelo:Mvar tal que $p_{n+1}-p_n=m$ para todo Modelo:Math e así para Modelo:Mvar suficientemente grande temos $p_{n+1}-p_n>N,$ o que contradiría o resultado de Zhang.

Primos xemelgos grandes

A partir de 2007, dous proxectos de computación distribuída, Twin Prime Search e PrimeGrid, produciron varios récords números primos xemelgos máis grandes. No 2016 o par primo xemelgo máis grande coñecido era Modelo:Nowrap con 388 342 díxitos decimais. Foi descuberto en setembro de 2016.

Hai 808.675.888.577.436 pares de primos xemelgos inferiores $10^{18}$.

Primo illado

Un primo illado (ou primo non xemelgo) é un número primo p tal que nin p − 2 nin p + 2 é primo. Noutras palabras, p non forma parte dun par primo xemelgo. Por exemplo, 23 é un primo illado, xa que 21 e 25 son ambos os dous compostos.

Os primeiros primeiros illados son

2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97 ,... Modelo:OEIS.

Do teorema de Brun despréndese que case todos os primos están illados no sentido de que a razón entre o número de primos illados inferiores a un determinado limiar n e o número de todos os primos inferiores a n tende a 1 segundo n tende ao infinito.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Primo sexy
• Primo curmán
• Intervalo entre primos

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release" Modelo:Webarchive of 58711-digit twin prime record
• Modelo:MathWorld
• The 20 000 first twin primes
• Polymath: Bounded gaps between primes
• Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing