Serie (matemáticas)

Modelo:About En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos $a_n$ como

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

A diferenza das sumas finitas, as series requiren ferramentas da análise matemática para ser entendidas e manipuladas correctamente. O estudo das series consiste en avaliar a suma dun número finito $N$ de termos sucesivos, e mediante un paso ata o límite, identificar o comportamento da serie cando $N$ medra indefinidamente (cando $N$ tende a infinito):

$S=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N{a}_n.$

As series poden converxer ou diverxer. Se o límite existe, sendo distinto de infinito (positivo ou negativo), a serie converxe e no caso contrario a serie diverxe. Ver abaixo criterios de converxencia.

Algúns tipos de series

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo termo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}.$

En xeral, as series xeométricas

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}.$

• Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplo:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}.$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ($\pm \mathrm{\infty }$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ é converxente, entón $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k=0$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k\ne 0$ entón $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ é diverxente.

Tres exemplos famosos

• Serie harmónica, $S=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdots$, diverxe (tende lentamente a infinito).
• Serie da función zeta de Riemann para o parámetro 2 (problema de Basilea), $S=\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\cdots$, converxe a $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.644934$ Modelo:OEIS.
• Serie alternada $S=1-1+1-1+1\cdots$, diverxe (tende a 1? tende a 0? tende a 1/2?).

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, tal que $a_k>0$ (termos non negativos).

Se existe

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=l$

con $l\epsilon [0,+\mathrm{\infty }]$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, tal que $a_k>0$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[k]{a_k}=l$, sendo $l\epsilon [0,+\mathrm{\infty }]$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de $a_k$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de $a_k$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, tal que $a_k>0$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }k(1-\frac{a_{k+1}}{a_k})$, sendo $l\epsilon (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie $\sum a_n$ converxe absolutamente se

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$

é converxente, isto é, se a suma dos seus valores absolutos converxe.

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe. Modelo:Matemáticas en progreso Modelo:Control de autoridades