Función zeta de Riemann

A función zeta de Riemann Modelo:Math trazada con cor de dominio.

O polo en $s=1$ e dous ceros na liña crítica.

A función zeta de Riemann, denotada pola letra grega Modelo:Math (zeta ), é unha función matemática dunha variábel complexa definida como $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$$ para Modelo:Nowrap e a súa continuación analítica para unha variábel complexa.

A función zeta de Riemann xoga un papel fundamental na teoría analítica de números, e ten aplicacións en física, teoría da probabilidade e estatística aplicada.

Leonhard Euler introduciu e estudou por primeira vez a función sobre os reais na primeira metade do século XVIII. O artigo de Bernhard Riemann de 1859 "Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada" estendeu a definición de Euler a unha variable complexa, demostrou a súa continuación meromorfa e a súa ecuación funcional e estabeleceu unha relación entre os seus ceros e a distribución dos números primos. Ese artigo tamén contiña a hipótese de Riemann, unha conxectura sobre a distribución dos ceros complexos da función zeta de Riemann que moitos matemáticos consideran o problema sen resolver máis importante da matemática pura.

Euler calculou os valores da función zeta de Riemann para enteiros positivos pares. O primeiro deles, Modelo:Math, proporciona unha solución ao problema de Basilea. En 1979 Roger Apéry demostrou a irracionalidade de Modelo:Math. Os valores en puntos enteiros negativos, tamén atopados por Euler, son números racionais e xogan un papel importante na teoría das formas modulares. Coñécense varias xeneralizacións da función zeta de Riemann, como as series de Dirichlet, as L-funcións e as L-funcións de Dirichlet.

Definición

A función zeta de Riemann Modelo:Math é unha función dunha variábel complexa Modelo:Math, onde Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son números reais. (A notación Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar utilízase tradicionalmente no estudo da función zeta, seguindo a Riemann.) Cando Modelo:Math, a función pódese escribir como unha suma converxente ou como unha integral:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x$

onde

$\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

é a función gamma. A función zeta de Riemann defínese para outros valores complexos mediante a continuación analítica da función definida para Modelo:Math.

A serie anterior é unha serie de Dirichlet prototípica que converxe absolutamente nunha función analítica para Modelo:Mvar tal que Modelo:Math e diverxe para todos os demais valores de Modelo:Mvar. Riemann demostrou que a función definida pola serie no semiplano de converxencia pode continuarse analíticamente ata todos os valores complexos Modelo:Math. Para Modelo:Math, a serie correspóndese coa serie harmónica que diverxe cara a Modelo:Math e

$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1)\zeta (s)=1.$

Así, a función zeta de Riemann é unha función meromorfa en todo o plano complexo, que é holomorfa en todas as partes agás nun polo simple en Modelo:Math con residuo Modelo:Math.

Fórmula do produto de Euler

En 1737, a conexión entre a función zeta e os números primos foi descuberta por Euler, quen probou a identidade

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}},$

onde o produto infinito do lado dereito esténdese sobre todos os números primos Modelo:Mvar (esas expresións chámanse produtos de Euler):

$\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdot \frac{1}{1-11^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots$

A fórmula do produto de Euler pódese usar para calcular a probabilidade asintótica de que Modelo:Mvar enteiros seleccionados aleatoriamente sexan coprimos.

Esta probabilidade asintótica de que Modelo:Mvar enteiros sexan coprimos está dada por

$\prod _{p\text{ primo}}(1-\frac{1}{p^s})={\left(\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}\right)}^{-1}=\frac{1}{\zeta (s)}.$

Ecuación funcional de Riemann

Esta función zeta satisfai a ecuación funcional $$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$$onde Modelo:Math é a función gamma. Esta é unha igualdade de funcións meromorfas válida en todo o plano complexo. A ecuación relaciona os valores da función zeta de Riemann nos puntos Modelo:Mvar e Modelo:Math, en particular relacionando enteiros pares positivos con enteiros negativos impares. Debido aos ceros da función seno, a ecuación funcional implica que Modelo:Math ten un cero simple en cada número enteiro par negativo Modelo:Math, coñecidos como ceros triviais de Modelo:Math.

Cando Modelo:Mvar é un enteiro positivo par, o produto Modelo:Math no lado dereito é distinto de cero porque Modelo:Math ten un polo, que cancela o cero simple do factor seno.

Os ceros, a liña crítica e a hipótese de Riemann

Espiral zeta de Riemann ao longo da liña crítica desde a altura 999000 ata un millón (de vermello a violeta)

A función zeta de Riemann non ten ceros á dereita de Modelo:Math ou (ademais dos ceros triviais) á esquerda de Modelo:Math (tampouco os ceros poden estar demasiado preto desas liñas). A maiores, os ceros non triviais son simétricos sobre o eixo real e a recta Modelo:Math

Esta imaxe mostra unha gráfica da función zeta de Riemann ao longo da liña crítica para os valores reais de Modelo:Mvar que van de 0 a 34. Os primeiros cinco ceros da franxa crítica son claramente visíbeis como o lugar onde pasan as espirais pola orixe.

A parte real (vermello) e a parte imaxinaria (azul) da función zeta de Riemann ao longo da recta crítica Re( s ) = 1/2. Os primeiros ceros non triviais pódense ver en Im( s ) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.

Ficheiro:Zeta1000 1005.webm

A ecuación funcional mostra que a función zeta de Riemann ten ceros en Modelo:Nowrap. Estes chámanse ceros triviais. Son triviais no sentido de que a súa existencia é fáciliña de demostrar, por exemplo, porque Modelo:Math é 0 na ecuación funcional. Os ceros non triviais captaron moita máis atención porque a súa distribución non só se entende moito menos senón que, o que é máis importante, o seu estudo provoca resultados importantes en relación cos números primos e outros elementos relacionados na teoría de números. Sábese que calquera cero non trivial está na franxa aberta $\{s\in ℂ:0<\mathrm{Re}(s)<1\}$, que se chama a franxa crítica. O conxunto $\{s\in ℂ:\mathrm{Re}(s)=1/2\}$ chámase liña crítica. A hipótese de Riemann, considerada un dos maiores problemas sen resolver en matemáticas, afirma que todos os ceros non triviais están na liña crítica. En 1989, Conrey demostrou que máis do 40% dos ceros non triviais da función zeta de Riemann están na liña crítica.

Para a función zeta de Riemann na liña crítica, consulte [[función Z|Modelo:Mvar-función]].

Primeiros ceros non triviais

Cero
1/2 ± 14,134725 i
1/2 ± 21,022040 i
1/2 ± 25,010858 i
1/2 ± 30,424876 i
1/2 ± 32,935062 i
1/2 ± 37,586178 i
1/2 ± 40,918719 i

Número de ceros na franxa crítica

Sexa $N(T)$ o número de ceros de $\zeta (s)$ na franxa crítica $0<\mathrm{Re}(s)<1$, cuxas partes imaxinarias están no intervalo $0<\mathrm{Im}(s)<T$. Trudgian demostrou que, se $T>e$, entón

$|N(T)-\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi e}|\le 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+\frac{0.2}{T}$.

As conxecturas de Hardy-Littlewood

En 1914, G. H. Hardy demostrou que Modelo:Math ten infinitos ceros reais.

Hardy e J. E. Littlewood formulou dúas conxecturas sobre a densidade e a distancia entre os ceros de Modelo:Math en intervalos de grandes números reais positivos. A continuación, Modelo:Math é o número total de ceros reais e Modelo:Math o número total de ceros de orde impar da función Modelo:Math situada no intervalo Modelo:Math.

• Para calquera Modelo:Math, existe un Modelo:Math tal que cando

$T\ge T_0(\epsilon )\text{ e }H=T^{\frac{1}{4}+\epsilon },$

o intervalo Modelo:Math contén un cero de orde impar.

• Para calquera Modelo:Math, existe un Modelo:Math e Modelo:Math tal que a desigualdade

$N_0(T+H)-N_0(T)\ge c_{\epsilon }H$ cúmprese cando $T\ge T_0(\epsilon )\text{ e }H=T^{\frac{1}{2}+\epsilon }.$

Estas dúas conxecturas abriron novas direccións na investigación da función zeta de Riemann.

Rexión sen ceros

A localización dos ceros da función zeta de Riemann é de grande importancia na teoría de números. O teorema dos números primos é equivalente ao feito de que non hai ceros da función zeta na liña Modelo:Math. Un mellor resultado , que se desprende dunha forma efectiva do teorema do valor medio de Vinogradov, é que Modelo:Math sempre que $\sigma \ge 1-\frac{1}{57.54(\log |t|{)}^{\frac{2}{3}}(\log \log |t|{)}^{\frac{1}{3}}}$ e Modelo:Math.

En 2015, Mossinghoff e Trudgian demostraron que zeta non ten ceros na rexión

$\sigma \ge 1-\frac{1}{5.573412\log |t|}$ para Modelo:Math.

Esta é a maior rexión libre de ceros coñecida na franxa crítica para $3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp (10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}$.

O resultado máis forte deste tipo que se pode esperar é a verdade da hipótese de Riemann, que tería moitas consecuencias profundas na teoría dos números.

Valores específicos

Modelo:AP Para calquera enteiro par positivo Modelo:Math,

$\zeta (2n)=\frac{|B_{2n}|(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!},$

onde Modelo:Math é o Modelo:Math-ésimo número de Bernoulli.

Para os números enteiros positivos impares, non se coñece ningunha expresión simple, consulte Valores especiais das L-funcións.

O cálculo de $\zeta (2)$ coñécese como o problema de Basilea. O valor de $\zeta (4)$ está relacionado coa Lei de Stefan–Boltzmann e a aproximación de Viena en física. Os primeiros valores son:

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\\ \zeta (4)& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}\\ \zeta (6)& =1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{945}\\ \zeta (8)& =1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\cdots =\frac{{\pi }^8}{9450}\\ \zeta (10)& =1+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\cdots =\frac{{\pi }^{10}}{93555}\\ \zeta (12)& =1+\frac{1}{2^{12}}+\frac{1}{3^{12}}+\cdots =\frac{691{\pi }^{12}}{638512875}.\end{array}$

Tomando o límte cando $n\to \mathrm{\infty }$, obtemos $\zeta (\mathrm{\infty })=1$. Mais no infinito complexo da esfera de Riemann a función zeta ten unha singularidade esencial.

Valores seleccionados para enteiros pares

Valor	Expansión decimal	Secuencia OEIS
$\zeta (2)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS
$\zeta (4)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS
$\zeta (6)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS
$\zeta (8)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS
$\zeta (10)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS
$\zeta (12)$	Modelo:Val...	Modelo:OEIS

Para os enteiros non positivos, temos

$\zeta (-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}$ para Modelo:Math (usando a convención de que Modelo:Math).

A constante de Apéry é o valor

$\zeta (3)=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots =1.202056903159594285399...$.

Series diverxentes

A través da continuación analítica, pódese demostrar

$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$

Isto dá un pretexto para asignar un valor finito á serie diverxente 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, que se utilizou en certos contextos (Sumatorio de Ramanujan) como na teoría de cordas. De xeito análogo, o valor particular

$\zeta (0)=-\frac{1}{2}$

pódese ver como a asignación dun resultado finito á serie diverxente 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .

O valor

$\zeta \left(\frac{1}{2}\right)=-1.46035450880958681288\dots$

emprégase no cálculo de problemas de capa límite cinética de ecuacións cinéticas lineares. Aínda que

$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$

diverxe, o seu principal valor de Cauchy

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\zeta (1+\epsilon )+\zeta (1-\epsilon )}{2}$

existe, sendo igual á constante de Euler-Mascheroni Modelo:Math.

Representacións

Serie de Dirichlet

Pódese obter unha extensión da área de converxencia reordenando a serie orixinal. A serie

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{n}{(n+1{)}^s}-\frac{n-s}{n^s})$

converxe para Modelo:Math, mentres que

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n(n+1)}{2}(\frac{2n+3+s}{(n+1{)}^{s+2}}-\frac{2n-1-s}{n^{s+2}})$

converxe mesmo para Modelo:Math. Deste xeito, a área de converxencia pódese estender a Modelo:Math para calquera número enteiro negativo Modelo:Math.

A recorrencia é claramente visíbel coa expresión válida para Modelo:Math o que permite unha maior expansión mediante a integración por partes.

$\begin{array}{cc}\zeta (s)=& 1+\frac{1}{s-1}-\frac{s}{2!}[\zeta (s+1)-1]\\ -& \frac{s(s+1)}{3!}[\zeta (s+2)-1]\\ & -\frac{s(s+1)(s+2)}{3!}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{3}dt}{(n+t{)}^{s+3}}.\end{array}$

Integrais tipo Mellin

A transformada de Mellin dunha función Modelo:Math defínese como

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x^s\frac{\mathrm{d}x}{x}$

na rexión onde a integral está definida. Hai varias expresións para a función zeta como integrais tipo transformada de Mellin. Se a parte real de Modelo:Mvar é maior que un, temos

$\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x$ e $\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=\frac{1}{2s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^s}{\cosh (x)-1}\mathrm{d}x$ ,

onde Modelo:Math denota a función gamma. Ao modificar o contorno, Riemann mostrou que

$2\sin (\pi s)\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)=i{\oint }_H\frac{(-x{)}^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x,$

para todo Modelo:Mvar (onde Modelo:Mvar denota o contorno de Hankel).

Tamén podemos atopar expresións relacionadas con números primos e co teorema dos números primos. Se Modelo:Math é a función de contaxe de números primos, entón

$\ln \zeta (s)=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\pi (x)}{x(x^s-1)}\mathrm{d}x,$

para valores con Modelo:Math.

Funcións theta

A función zeta de Riemann pódese dar mediante unha transformada de Mellin

$2{\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\theta (it)-1)t^{\frac{s}{2}-1}\mathrm{d}t,$

en termos da función theta de Jacobi

$\theta (\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau }.$

No entanto, esta integral só converxe se a parte real de Modelo:Mvar é maior que 1, mais pódese regularizar. Isto dá a seguinte expresión para a función zeta, que está ben definida para todos os Modelo:Mvar agás 0 e 1:

${\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\theta (it)-t^{-\frac{1}{2}})t^{\frac{s}{2}-1}\mathrm{d}t+\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\theta (it)-1)t^{\frac{s}{2}-1}\mathrm{d}t.$

Serie de Laurent

A función zeta de Riemann é meromorfa cun só polo de orde un en Modelo:Math. Polo tanto, pódese expandir como unha serie de Laurent en Modelo:Math; o desenvolvemento da serie é logo

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\gamma }_n}{n!}(1-s{)}^n.$

As constantes Modelo:Math aquí chámanse constantes de Stieltjes e pódense definir polo límite

${\gamma }_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\left(\sum _{k=1}^m\frac{(\ln k{)}^n}{k}\right)-\frac{(\ln m{)}^{n+1}}{n+1}).$

O termo constante Modelo:Math é a constante de Euler-Mascheroni.

Factorial ascendente

Outro desenvolvemento en serie usando o factorial ascendente válido para todo o plano complexo é

$\zeta (s)=\frac{s}{s-1}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (s+n)-1)\frac{s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}.$

Transformada de Mellin do mapa de Engel

A función $g(x)=x(1+\lfloor x^{-1}\rfloor )-1$ itérase para atopar os coeficientes que aparecen nas expansións de Engel.

A transformada de Mellin do mapa $g(x)$ está relacionada coa función zeta de Riemann pola fórmula

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)x^{s-1}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\frac{1}{n+1}}{\overset{\frac{1}{n}}{\int }}(x(n+1)-1)x^{s-1}dx\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{-s}(s-1)+(n+1{)}^{-s-1}(n^2+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}\\ & =\frac{\zeta (s+1)}{s+1}-\frac{1}{s(s+1)}.\end{array}$

Algoritmos numéricos

Un algoritmo clásico, en uso antes de aproximadamente 1930, procede aplicando a fórmula de Euler-Maclaurin para obter, para n e m enteiros positivos,

$\zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}{j}^{-s}+\frac{1}{2}{n}^{-s}+\frac{n^{1-s}}{s-1}+\sum _{k=1}^m{T}_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)$

onde $B_{2k}$ denota o número de Bernoulli correspondente,

$T_{k,n}(s)=\frac{B_{2k}}{(2k)!}{n}^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)$

e o erro cumpre

$|E_{m,n}(s)|<|\frac{s+2m+1}{\sigma +2m+1}{T}_{m+1,n}(s)|,$con σ = Re(s).

Un algoritmo numérico moderno é o algoritmo de Odlyzko-Schönhage.

Xeneralizacións

Hai unha serie de funcións zeta relacionadas que poden considerarse xeneralizacións da función zeta de Riemann. Estas inclúen:

A función zeta de Hurwitz

$\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+q{)}^s}$.

O polilogaritmo

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}$.

O trascendente de Lerch

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
• Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
• X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
• Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
• Modelo:Cite webModelo:Cbignore
• Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function
• Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation a video from 3Blue1Brown