Constante de Euler-Mascheroni

En matemáticas, a constante de Euler-Mascheroni é un número que aparece na análise e na teoría dos números. Apareceu por primeira vez na obra do matemático suízo Leonhard Euler a principios do século XVIII.Adoita representarse coa letra grega $\gamma$ (gamma), aínda que Euler utilizou as letras C e O no seu lugar.

Aínda non se sabe se o número é irracional (é dicir, non se pode escribir como unha fracción cun numerador e denominador enteiro) ou transcendental (é dicir, non pode ser a solución dun polinomio con coeficientes enteiros). O valor numérico de $\gamma$ é aproximadamente $0.5772156649$. O matemático italiano Lorenzo Mascheroni tamén traballou co número, e intentou sen éxito aproximar o número a 32 decimais, cometendo erros en cinco díxitos.

É significativo porque vincula a serie harmónica diverxente co logaritmo natural. Vén dada pola diferenza límite entre o logaritmo natural e a serie harmónica:

$\gamma =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{n=1}^t\frac{1}{n}-\log (t))$

Tamén se pode escribir como unha integral impropia que inclúe a función chan, unha función que produce o maior enteiro menor ou igual a un determinado número.

$\gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor t\rfloor }-\frac{1}{t})\mathrm{d}t$

A constante gamma está intimamente ligada á función Gamma, especificamente á súa derivada logarítmica, a función digamma, que se define como

${\mathrm{\Psi }}_0(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log (\mathrm{\Gamma }(x))=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

Para $x=1$, isto dá

${\mathrm{\Psi }}_0(1)=-\gamma$

Usando as propiedades da función digamma, $\gamma$ tamén se pode escribir como límite.

$-\gamma =\underset{t\to 0}{\lim }({\mathrm{\Psi }}_0(t)+\frac{1}{t})$

Véxase tamén

Outros artigos

• Serie harmónica
• Función zeta de Riemann
• Constante de Stieltjes
• Constante de Meissel-Mertens

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld
• Jonathan Sondow.
• Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
• Outras fórmulas que fan uso da constante: Gourdon and Sebah (2004).