Número racional

Representación gráfica das fraccións cuxo divisor é 4. Estas catro fraccións son números racionais.

Modelo:Barra lateral Os números racionais son todos aqueles números que poden representarse como a fracción ou cociente de dous números enteiros ou, máis precisamente, un enteiro e un natural positivo; é dicir, unha fracción común $a/b$ con numerador $a$ e denominador $b$ distinto de cero. O termo «racional» alude a unha fracción ou parte dun todo. O conxunto dos números racionais denótase por Q (ou ben $\mathbb{Q}$, en letra grosa de encerado) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conxunto de números inclúe aos números enteiros ($\mathbb{Z}$), e é un subconxunto dos números reais ($ℝ$).

A escritura decimal dun número racional é, ou ben un número decimal finito, ou ben periódico. Isto é certo non só para números escritos en base 10 sistema decimal, tamén en base binaria, hexadecimal ou calquera outra base enteira. Reciprocamente, todo número que admite un desenvolvemento finito ou periódico é un número racional.

Pode verse un resumo xeral das álxebras numéricas no artigo acerca dos números.

As formas máis frecuentes de representar un número racional son como unha fracción, por exemplo $\frac{-8}{3}$ ou como un número con decimais, por exemplo $0,3578$.

Un número real que non é racional é un número irracional, como por exemplo $\sqrt{2}$.

Os números racionais poden ser formalmente definidos como clases de equivalencia de pares de números enteiros Modelo:Math con Modelo:Math, usando a relación de equivalencia definida como segue:

$(p_1,q_1)\sim (p_2,q_2)⟺p_1{q}_2=p_2{q}_1.$

A fracción Modelo:Tmath denota daquela a clase de equivalencia de Modelo:Math.

Álxebra abstracta

Os números racionais xunto coa suma e a multiplicación forman un corpo que contén os números enteiross, e está contido en calquera corpo que conteña os enteiros. Un corpo ten característica cero se e só se contén os números racionais como subcorpo. As extensións finitas de Modelo:Tmath chámanse corpo numérico alxébrico, e o peche alxébrico de Modelo:Tmath é o corpo de número alxébricos.

Na análise matemática, os números racionais forman un subconxunto denso dos números reais. Os números reais pódense construír a partir dos números racionais mediante completamento , usando secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind ou infinitos decimais (ver Construción dos números reais).

Mergullo dos números enteiros

Calquera número enteiro Modelo:Mvar pódese expresar como o número racional Modelo:Tmath que é a súa forma canónica como número racional.

Isto pódese expresar como que os números enteiros están incluídos ou mergullados ou embebidos dentro dos números racionais.

Os números racionais Modelo:Tmath están incluídos nos números reais Modelo:Tmath, que están incluídos nos números complexos Modelo:Tmath, mentres que os racionais Modelo:Tmath inclúen os enteiros Modelo:Tmath, que á súa vez inclúen os números naturais Modelo:Tmath.

Aritmética

Fracción irredutíbel

Todo número racional pódese expresar dun xeito único como unha fracción irredutíbel Modelo:Tmath onde Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son enteiros coprimos e Modelo:Math. Esta é a miúdo chamada a forma canónica do número racional.

Partindo dun número racional Modelo:Tmath a súa forma canónica pódese obter dividindo Modelo:Mvar e Modelo:Mvar polo seu máximo común divisor, e, se Modelo:Math, mudando o signo do numerador e do denominador resultantes.

Igualdade

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ se e só se $ad=bc$

Se ambas as fraccións están en forma canónica, entón:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ se e só se $a=c$ e $b=d$

Orde

Se ambos os denominadores son positivos (especialmente se ambas as fraccións están en forma canónica):

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ se e só se $ad<bc.$

Por outra banda, se calquera dos denominadores é negativo, entón cada fracción cun denominador negativo debe converterse primeiro nunha forma equivalente cun denominador positivo, mudando os signos do seu numerador e do denominador.

Suma

Engádense dúas fraccións do seguinte xeito:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$

Se ambas as fraccións están en forma canónica, o resultado está en forma canónica se e só se Modelo:Mvar son números enteiros coprimos.

Resta

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}.$

Se ambas as fraccións están en forma canónica, o resultado está en forma canónica se e só se Modelo:Mvar son enteiros coprimos.

Multiplicación

A regra da multiplicación é:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Onde o resultado pode ser unha fracción reducíbel, aínda que ambas as dúas fraccións orixinais estean en forma canónica.

Inversas

Todo número racional Modelo:Tmath ten un inverso aditivo, a miúdo chamado o seu oposto,

$-\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{-a}{b}.$

Un número racional distinto de cero Modelo:Tmath ten un inverso multiplicativo, tamén chamado recíproco,

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}.$

Se Modelo:Tmath están en forma canónica, entón a forma canónica do seu recíproco é Modelo:Tmath ou Modelo:Tmath dependendo do signo de Modelo:Mvar.

División

Se Modelo:Mvar son distintos de cero, a regra de división é

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}.$

Así, dividir Modelo:Tmath por Modelo:Tmath equivale a multiplicar Modelo:Tmath polo recíproco de Modelo:Tmath

$\frac{ad}{bc}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}.$

Exponenciación a potencia enteira

Se Modelo:Mvar é un número enteiro non negativo, entón

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}.$

O resultado estará en forma canónica se tamén o está Modelo:Tmath

En particular,

${\left(\frac{a}{b}\right)}^0=1.$

Se Modelo:Math, entón

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}=\frac{b^n}{a^n}.$

Formas de representación

• fracción normal: Modelo:Tmath
• Número mixto: Modelo:Tmath
• Decimal periódico usando sobreliñado: $2.\bar{6}$
• Decimal periódico usando paréntese: $2.(6)$
• Fracción continua con escritura tradicional: $2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$
• Fracción continua abreviada: $[2;1,2]$
• Fracción exipcia: $2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$
• Descomposición de potencias: $2^3\times 3^{-1}$
• Con coma superior (truncado): $2^{\prime }6$
• Con coma inferior (truncado): $2,6$

Todas estas formas de escribir representan o mesmo número racional (coa salvedade de que as dúas últimas truncan o valor a un único decimal).

Números p-ádicos

Modelo:Artigo principal A maiores da métrica de valor absoluto habitual ($d(x,y)=|x-y|$), hai outras métricas que tamén converten Modelo:Tmath nun corpo topolóxico:

Sexa Modelo:Mvar un número primo e para calquera número enteiro distinto de cero Modelo:Mvar, sexa $|a{|}_p=p^{-n},$ onde Modelo:Mvar é a potencia máis alta de Modelo:Mvar que divide Modelo:Mvar.

A maiores estabelecemos $|0{|}_p=0$ e para calquera número racional Modelo:Tmath estabelecemos

${\left|\frac{a}{b}\right|}_p=\frac{|a{|}_p}{|b{|}_p}.$

Entón $d_p(x,y)=|x-y{|}_p$ define unha métrica en Modelo:Tmath

O espazo métrico Modelo:Tmath non está completo, e o seu completamento é o [[número p-ádico|corpo de números Modelo:Mvar-ádicos]] Modelo:Tmath O Teorema de Ostrowski afirma que calquera valor absoluto non trivial sobre os números racionais Modelo:Tmath é equivalente ao valor absoluto real usual ou a un valor absoluto Modelo:Mvar-ádico.

Véxase tamén

Outros artigos

• Factorización de enteiros.
• Máximo común divisor.

Ligazóns externas

• numeros racionais.