Función gamma

Función gamma no eixe real.

Valor absoluto da función gamma no plano complexo.

En matemáticas, a función gamma (denotada como $\mathrm{\Gamma }(z)$, onde $\mathrm{\Gamma }$ é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral Modelo:Ecuación converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón Modelo:Ecuación o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica

A función gamma no plano complexo.

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación $n!=n(n-1)!$ do factorial. Pódese avaliar $\mathrm{\Gamma }(1)$ analiticamente:

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{-e^{-t}|}_0^k=-0-(-1)=1.$

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=\cdots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de $z\in ℂ$ con polos simples en $z=-n(n=0,1,2,3,\dots )$ e residuos $\mathrm{Res}(\mathrm{\Gamma }(z),-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}$. Estas propiedades poden ser empregadas para estender $\mathrm{\Gamma }(z)$ dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^z}{1+\frac{z}{n}}$

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}$

onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^{z+1}}{(z+1)(z+2)\cdots (z+1+n)}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(z\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}\frac{n}{(z+1+n)}\right)\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{(z+1+n)}\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z).\\ \end{array}$

Tamén se pode a seguinte representación integral:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^{1/z}}dt.$

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes

Atopar $\mathrm{\Gamma }(1)$ é sinxelo:

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{1-1}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}dx=-e^{-\mathrm{\infty }}-(-e^0)=0-(-1)=1$

Obtense logo unha fórmula para $\mathrm{\Gamma }(n+1)$ como unha función de $\mathrm{\Gamma }(n)$:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n+1-1}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx$

Empregando integración por partes para resolver a integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx={\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}+n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n-1}dx$

No límite inferior obtense directamente $\frac{-0^n}{e^0}=\frac{0}{1}=0$.

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-x^n}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-n!\cdot 1}{e^x}=0$.

Polo que se anula o primeiro termo, ${\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}$, o que nos dá o seguinte resultado:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n-1}dx$

A parte dereita da ecuación é exactamente $n\mathrm{\Gamma }(n)$, co que se obtén unha relación de recorrencia:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$.

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

$\mathrm{\Gamma }(2)=\mathrm{\Gamma }(1+1)=1\mathrm{\Gamma }(1)=1!=1$

$\mathrm{\Gamma }(3)=\mathrm{\Gamma }(2+1)=2\mathrm{\Gamma }(2)=2\cdot 1!=2!=2$

$\mathrm{\Gamma }(4)=\mathrm{\Gamma }(3+1)=3\mathrm{\Gamma }(3)=3\cdot 2!=3!=6$

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n\cdot (n-1)!=n!$

Propiedades

Da representación integral obtense: Modelo:Ecuación Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler Modelo:Ecuación e a fórmula de duplicación Modelo:Ecuación A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación Modelo:Ecuación Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é: Modelo:Ecuación Varios límites útiles para aproximacións asintóticas: Modelo:Ecuación

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é: Modelo:Ecuación que se pode obter facendo $z=1/2$ na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con $x=e=1/2$ ou facendo a substitución $u=\sqrt{t}$ na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense: Modelo:Ecuación onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo: Modelo:Ecuación A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é: Modelo:Ecuación A función gamma ten un polo de orde 1 en $z=-n$ para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é: Modelo:Ecuación O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de $\mathrm{\Gamma }(z)$ para valores 0 < z < 1 é: Modelo:Ecuación Onde $\zeta (n)$ é a función zeta de Riemann.

Función pi

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

$\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z),$

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

$\mathrm{\Pi }(n)=n!.$

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

$\mathrm{\Pi }(z)\mathrm{\Pi }(-z)=\frac{\pi z}{\sin (\pi z)}=\frac{1}{\mathrm{sinc}(z)}$

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

$\mathrm{\Pi }\left(\frac{z}{m}\right)\mathrm{\Pi }\left(\frac{z-1}{m}\right)\cdots \mathrm{\Pi }\left(\frac{z-m+1}{m}\right)={\left(\frac{(2\pi {)}^m}{2\pi m}\right)}^{1/2}{m}^{-z}\mathrm{\Pi }(z).$

Ás veces atópase a seguinte definición

$\pi (z)=\frac{1}{\mathrm{\Pi }(z)},$

onde $\pi (z)$ é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións

• Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior $\gamma (a,x)$ e inferior $\mathrm{\Gamma }(a,x)$ obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

$\mathrm{\Gamma }(a,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt.$

$\gamma (a,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt.$

• A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

• A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma ${\psi }^{(0)}(z)$. As derivadas de maior orde son as funcións poligamma ${\psi }^{(n)}(z)$.

$\psi (z)={\psi }^0(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

${\psi }^{(n)}(z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^n\psi (z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^{n+1}\log \mathrm{\Gamma }(z)$

• O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
• A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
• A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann $\zeta (z)$:

$\zeta (z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^{z-1}}{e^u-1}\mathrm{d}u.$

Fórmula válida só se $\mathrm{Re}(z)>1$. Tamén aparece na ecuación funcional de $\zeta (z)$:

${\pi }^{-z/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z}{2}\right)\zeta (z)={\pi }^{-\frac{1-z}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-z}{2}\right)\zeta (1-z).$

Valores da función gamma

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(-3/2)& =\frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx 2,363\\ \mathrm{\Gamma }(-1/2)& =-2\sqrt{\pi }& \approx -3,545\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =\sqrt{\pi }& \approx 1,772\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =0!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0,886\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1,329\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2!& =2\\ \mathrm{\Gamma }(7/2)& =\frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx 3,323\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =3!& =6\end{array}$

Aproximacións

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma

Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de $a{x}^b$ (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

$\frac{d^n}{d{x}^n}\left(a{x}^b\right)=(b-n+1)\cdots (b-2)(b-1)ba{x}^{b-n}=\frac{b!}{(b-n)!}a{x}^{b-n}$

como $n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$ entón $\frac{d^n}{d{x}^n}\left(a{x}^b\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }(b+1)}{\mathrm{\Gamma }(b-n+1)}a{x}^{b-n}$ onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de $x$, de $x^2$ e inclusive dunha constante $c=c{x}^0$:

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi }}$

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}\left(x^2\right)=\frac{8\sqrt{x^3}}{3\sqrt{\pi }}$

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}\left(c\right)=\frac{c}{\sqrt{\pi }\sqrt{x}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
• Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Outros artigos

• Función beta
• Función digamma
• Función gamma elíptica
• Distribución gamma

Ligazóns externas

• Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com Modelo:En
• Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ Modelo:En
• Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
• Approximation Formulas - Aproximacións.
• Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitrariaModelo:Ligazón morta.
• Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages Modelo:En
• Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
• Calculadora Función gamma