Función de contaxe de números primos

En matemáticas, a función de contaxe de números primos é a función que conta o número de números primos menores ou igual a algún número real Modelo:Math. Desígnase por Modelo:Math (sen relación co [[Número pi|número Modelo:Pi]]).

Os valores de Modelo:Math para os primeiros 60 enteiros positivos

Taxa de crecemento

De grande interese na teoría de números é a taxa de crecemento da función de contaxe de primos. Foi conxecturado a finais do século XVIII por Gauss e por Legendre como aproximadamente

$\frac{x}{\log (x)}$

onde Modelo:Math é o logaritmo natural, no sentido de que

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\log (x)}=1.$

Esta afirmación é o teorema dos números primos. Unha afirmación equivalente é

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{\mathrm{li}(x)}=1$,

onde $\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$ é a función logaritmo integral.

O teorema dos números primos foi probado por primeira vez en 1896 por Jacques Hadamard e por Charles de la Vallée Poussin de forma independente, utilizando as propiedades da función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Atle Selberg e Paul Erdős atoparon probas do teorema dos números primos que non empregaban a función zeta nin a análise complexa arredor de 1948 (na súa maior parte de forma independente).

Estimacións máis precisas

No 1899, de la Vallée Poussin probou que

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O\left(x{e}^{-a\sqrt{\log x}}\right)\text{as }x\to \mathrm{\infty }$

Agora coñécense estimacións máis precisas de Modelo:Math. Por exemplo, en 2002, Kevin Ford demostrou que

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(x\exp (-0.2098(\log x{)}^{3/5}(\log \log x{)}^{-1/5})).$

Para valores de Modelo:Math que non sexan excesivamente grandes, Modelo:Math é maior que Modelo:Math. Porén, Modelo:Math sábese que muda de signo infinitas veces. Para unha discusión sobre isto, consulte o número de Skewes.

Forma exacta

Para Modelo:Math sexa Modelo:Math cando Modelo:Math é un número primo, e Modelo:Math doutro xeito. Bernhard Riemann, na súa obra Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada, demostrou que Modelo:Math é igual a

Fórmula explícita de Riemann usando os primeiros 200 ceros non triviais da función zeta

${\pi }_0(x)=\mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}(x^{\rho }),$

onde

$\mathrm{R}(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\mathrm{li}\left(x^{1/n}\right),$

e aquí Modelo:Math é a función de Möbius, Modelo:Math é o logaritmo integral, Modelo:Math indexa cada cero da función zeta de Riemann. Se se recollen os ceros triviais e a suma tómase só sobre os ceros non triviais Modelo:Math da función zeta de Riemann, entón Modelo:Math pode ser aproximado por

${\pi }_0(x)\approx \mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}\left(x^{\rho }\right)-\frac{1}{\log (x)}+\frac{1}{\pi }\arctan \frac{\pi }{\log (x)}.$

A hipótese de Riemann suxire que cada cero non trivial deste tipo está ao longo de Modelo:Math.

Táboa de Modelo:Math , Modelo:Math, e Modelo:Math

A táboa mostra as tres funcións Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math comparadas nas potencias de 10. Ver tamén, e

Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Math  % erro
10	4	0	2	2.500	−8.57%
102	25	3	5	4.000	+13.14%
103	168	23	10	5.952	+13.83%
104	1,229	143	17	8.137	+11.66%
105	9,592	906	38	10.425	+9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	+7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	+6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	+5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	+4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	+4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	+2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

Gráfica que mostra a relación da función de contaxe de primos Modelo:Math a dúas das súas aproximacións, Modelo:Math e Modelo:Math. A medida que aumenta Modelo:Math (observe que o eixo Modelo:Math é logarítmico), ambas as razóns tenden cara a 1. A razón para Modelo:Math converxe desde arriba moi lentamente, mentres que a razón para Modelo:Math converxe máis rápido desde abaixo.

Na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, a columna Modelo:Math é a Modelo:OEIS, Modelo:Math é a Modelo:OEIS e Modelo:Math é a Modelo:OEIS.

O valor de Modelo:Math foi calculado orixinalmente por J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung asumindo a hipótese de Riemann. Máis tarde comprobouse sen condicións nun cálculo de DJ Platt. O valor de Modelo:Math débese a J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung. O valor de Modelo:Math foi calculado por DB Staple. Todas as demais entradas anteriores nesta táboa tamén foron verificadas como parte dese traballo.

Os valores para 10²⁷, 10²⁸ e 10²⁹ foron anunciados por David Baugh e Kim Walisch en 2015, 2020, e 2022, respectivamente.

Algoritmos para avaliar Modelo:Math

Unha forma sinxela de atopar π(x), se x non é demasiado grande, é usar a creba de Eratóstenes para producir os primos menores ou iguais a x e despois contalos.

Unha forma máis elaborada de atopar Modelo:Math débese a Legendre (usando o principio de inclusión-exclusión): dado Modelo:Math, se Modelo:Math son números primos distintos, entón o número de enteiros menor que ou iguais a Modelo:Math que non son divisíbeis por ningún Modelo:Math é

$\lfloor x\rfloor -\sum _i\lfloor \frac{x}{p_i}\rfloor +\sum _{i<j}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j}\rfloor -\sum _{i<j<k}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j{p}_k}\rfloor +\cdots$

(onde Modelo:Math denota a función chan). Este número é, polo tanto, igual a

$\pi (x)-\pi \left(\sqrt{x}\right)+1$

cando os números Modelo:Math son os números primos menores ou iguais á raíz cadrada de Modelo:Math.

Algoritmo de Meissel-Lehmer

Modelo:Main Nunha serie de artigos publicados entre 1870 e 1885, Ernst Meissel describiu (e utilizou) unha forma combinatoria práctica de avaliar Modelo:Math: Sexan Modelo:Math os primeiros Modelo:Math primos e denotémos por Modelo:Math o número de números naturais non superiores a Modelo:Math que non son divisíbeis por ningún dos Modelo:Math para calquera Modelo:Math. Entón

$\mathrm{\Phi }(m,n)=\mathrm{\Phi }(m,n-1)-\mathrm{\Phi }(\frac{m}{p_n},n-1).$

Dado un número natural Modelo:Math, se Modelo:Math e se Modelo:Math, entón

$\pi (m)=\mathrm{\Phi }(m,n)+n(\mu +1)+\frac{{\mu }^2-\mu }{2}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left(\frac{m}{p_{n+k}}\right).$

Usando este enfoque, Meissel calculou Modelo:Math, para Modelo:Math igual a Modelo:Val, 10⁶, 10⁷, e 10⁸.

En 1959, Derrick Henry Lehmer ampliou e simplificou o método de Meissel

Outras funcións de contaxe de primos

Función de Riemann de contaxe de potencias de primos

Adoita denotarse como Modelo:Math ou Modelo:Math. Ten saltos de

Formalmente, podemos definir Modelo:Math por

${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{p^n<x}\frac{1}{n}+\sum _{p^n\le x}\frac{1}{n})$

onde a variable Modelo:Mvar en cada suma varía sobre todos os primos dentro dos límites especificados.

Tamén podemos escribir

${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\sum _{n=2}^x\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}-\frac{\mathrm{\Lambda }(x)}{2\log x}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\pi }_0\left(x^{1/n}\right)$

onde Modelo:Math é a función de von Mangoldt e

${\pi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\pi (x-\epsilon )+\pi (x+\epsilon )}{2}.$

A fórmula de inversión de Möbius dá logo

${\pi }_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}{\mathrm{\Pi }}_0\left(x^{1/n}\right),$

onde Modelo:Math é a función de Möbius.

Coñecendo a relación entre o logaritmo da función zeta de Riemann e a función de von Mangoldt Modelo:Math, e utilizando a fórmula de Perron temos

$\log \zeta (s)=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Pi }}_0(x)x^{-s-1}\mathrm{d}x$.

Función de Chebyshev

A función de Chebyshev pondera números primos ou potencias de primos Modelo:Math mediante Modelo:Math :

$\begin{array}{cc}\theta (x)& =\sum _{p\le x}\log p.\\ \psi (x)& =\sum _{p^n\le x}\log p=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\theta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n).\end{array}$

Para Modelo:Math,

$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\pi (t)}{t}\mathrm{d}t$

e

$\pi (x)=\frac{\vartheta (x)}{\log x}+\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\vartheta (t)}{t{\log }^2(t)}\mathrm{d}t.$

Fórmulas para as funcións de contaxe de números primos

As fórmulas para as funcións de contaxe de primos son de dous tipos: fórmulas aritméticas e fórmulas analíticas. As fórmulas analíticas para a contaxe de primos foron as primeiras utilizadas para demostrar o teorema dos números primos. Procedentes do traballo de Riemann e von Mangoldt, coñécense xeralmente como fórmulas explícitas.

Temos a seguinte expresión para a segunda función de Chebyshev Modelo:Math:

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\log 2\pi -\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}),$

onde

${\psi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\psi (x-\epsilon )+\psi (x+\epsilon )}{2}.$

Aquí Modelo:Math son os ceros da función zeta de Riemann na franxa crítica, onde a parte real de Modelo:Math está entre cero e un. A fórmula é válida para valores de Modelo:Math maiores que un, que é a rexión de interese. A suma sobre as raíces é condicionalmente converxente e debe tomarse por orde crecente do valor absoluto da parte imaxinaria. Teña en conta que a mesma suma sobre as raíces triviais dá o último sustraendo da fórmula.

Para Modelo:Math temos unha fórmula máis complicada

${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\mathrm{li}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{li}\left(x^{\rho }\right)-\log 2+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}.$

De novo, a fórmula é válida para Modelo:Math, mentres que Modelo:Math son os ceros non triviais da función zeta ordenados segundo o seu valor absoluto. A integral é igual á serie sobre os ceros triviais:

$\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t\log t}\left(\sum _m{t}^{-2m}\right)\mathrm{d}t=\sum _m\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{-2m}}{t\log t}\mathrm{d}t\stackrel{(u=t^{-2m})}{=}-\sum _m\mathrm{li}\left(x^{-2m}\right)$

O primeiro termo Modelo:Math é o logaritmo integral usual; a expresión Modelo:Math no segundo termo debería considerarse como Modelo:Math, onde Modelo:Math é a continuación analítica da función integral exponencial desde os reais negativos ata o plano complexo coa ramificación cortada ao longo dos reais positivos.

Así, a fórmula de inversión de Möbius dános

${\pi }_0(x)=\mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}\left(x^{\rho }\right)-\sum _m\mathrm{R}\left(x^{-2m}\right)$

válido para Modelo:Math, onde

$\mathrm{R}(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\mathrm{li}\left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(\log x)}^k}{k!k\zeta (k+1)}$

é a función R de Riemann e Modelo:Math é a función de Möbius. Esta última serie coñécese como serie de Gram. Como Modelo:Math para todo Modelo:Math, esta serie converxe para todo Modelo:Math positivo en comparación coa serie para Modelo:Math.

A suma sobre os ceros non triviais de zeta na fórmula para Modelo:Math describe as flutuacións de Modelo:Math mentres que os termos restantes dan a parte "suave" da función de contaxe de primos,, asi que pódese usar

$\mathrm{R}(x)-\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{R}\left(x^{-2m}\right)$

como un bo estimador de Modelo:Math para Modelo:Math.

De feito, xa que o segundo termo achégase a 0 cando Modelo:Math, mentres que a amplitude da parte "ruidosa" é heurísticamente aproximado a Modelo:Math, estimando Modelo:Math só por Modelo:Math é igual de bo, e as flutuacións da distribución dos números primos poden representarse claramente coa función

$({\pi }_0(x)-\mathrm{R}(x))\frac{\log x}{\sqrt{x}}.$

A hipótese de Riemann

A hipótese de Riemann implica un límite moito máis estreito do erro na estimación de Modelo:Math e, polo tanto, unha distribución máis regular dos números primos,

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

En concreto,

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|<\frac{\sqrt{x}}{8\pi }\log x,\text{para todo }x\ge 2657.$

Modelo:Harvtxt probou que a hipótese de Riemann implica que para todo Modelo:Math hai un primo Modelo:Math a satisfacer

$x-\frac{4}{\pi }\sqrt{x}\log x<p\le x.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Postulado de Bertrand
• Conxectura de Oppermann
• Número primo de Ramanujan

Ligazóns externas

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.

Modelo:Control de autoridades