Expansión de Engel

A expansión de Engel dun número real positivo x é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ tal que

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots =\frac{1}{a_1}(1+\frac{1}{a_2}(1+\frac{1}{a_3}(1+\cdots )))$

Por exemplo, o número e ten unha expansión de Engel

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondente á serie infinita

$e=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots$

Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres que os números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Se x é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación de x como unha fracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome de Friedrich Engel, quen as estudou en 1913.

Unha expansión análoga a unha expansión de Engel, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce.

Expansións de Engel, fraccións continuas e Fibonacci

Modelo:Harvtxt observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunha fracción continua:

$x=\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots }{a_3}}{a_2}}{a_1}.$

Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa no Liber Abaci de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente:

$\frac{abcd}{efgh}=\frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h}.$

Algoritmo para calcular as expansións de Engel

Para atopar a expansión de Engel de x, sexa

$u_1=x,$

$a_k=\lceil \frac{1}{u_k}\rceil ,$

e

$u_{k+1}=u_k{a}_k-1$

onde $\lceil r\rceil$ é a función teito (o número enteiro máis pequeno non inferior a r).

Se $u_i=0$ para calquera i, remata o algoritmo.

Exemplo

Para atopar a expansión de Engel de 1.175, realizamos os seguintes pasos.

$u_1=1.175,a_1=\lceil \frac{1}{1.175}\rceil =1;$

$u_2=u_1{a}_1-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_2=\lceil \frac{1}{0.175}\rceil =6$

$u_3=u_2{a}_2-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_3=\lceil \frac{1}{0.05}\rceil =20$

$u_4=u_3{a}_3-1=0.05\cdot 20-1=0$

A serie remata aquí. Así,

$1.175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{1\cdot 6\cdot 20}$

e a expansión de Engel de 1.175 é (1, 6, 20).

A expansión de Engel para progresións aritméticas

Considere esta suma:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}=\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\alpha (\alpha +\beta )}+\frac{1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}+\cdots ,$

onde $\alpha ,\beta \in \mathbb{N}$ e $0<\alpha \le \beta$ . Así, en xeral

${\left(\frac{1}{\beta }\right)}^{1-\frac{\alpha }{\beta }}{e}^{\frac{1}{\beta }}\gamma (\frac{\alpha }{\beta },\frac{1}{\beta })=\{\alpha ,\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}$ ,

onde $\gamma$ representa a función gamma incompleta minúscula.

En concreto, se $\alpha =\beta$ ,

$e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}$ .

Expansión de Engel para potencias de q

A identidade de Gauss do q-análogo pódese escribir como:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-\frac{1}{q^{2n}}}{1-\frac{1}{q^{2n-1}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^{\frac{n(n+1)}{2}}},q\in \mathbb{N}.$

Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de $q$ do seguinte xeito:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-\frac{1}{q^n})}^{(-1{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\prod _{i=1}^n{q}^i}.$

A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como:

$\frac{q^{1/8}{\vartheta }_2\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)}{2}=\{1,q,q^3,q^6,q^{10},\dots \}$

onde ${\vartheta }_2$ é a segunda función theta.

Expansións de Engel para algunhas constantes coñecidas

$\pi$ = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) Modelo:OEIS

$\sqrt{2}$ = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) Modelo:OEIS

$e$ = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) Modelo:OEIS

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Fracción continua de Euler.

Ligazóns externas

• Modelo:Cita web

Modelo:Control de autoridades