Función analítica

En matemáticas, unha función analítica é unha función que está dada localmente por unha serie de potencias converxente. Existen funcións analíticas reais e funcións analíticas complexas. As funcións de cada tipo son infinitamente diferenciábeis, mais as funcións analíticas complexas presentan propiedades que xeralmente non se cumpren para as funcións analíticas reais.

Unha función é analítica se e só se para cada $x_0$ no seu dominio, a súa serie de Taylor en $x_0$ converxe á función nalgunha veciñanza de $x_0$. Isto é máis forte que simplemente ser infinitamente diferenciábel en $x_0$, e polo tanto ter unha serie de Taylor ben definida; a función de Fabius ofrece un exemplo dunha función que é infinitamente diferenciábel mais non analítica.

Definicións

Formalmente, unha función $f$ é unha función analítica real nun conxunto aberto $D$ na liña real se para algún $x_0\in D$ podemos escribir

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-x_0)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots$

no que os coeficientes $a_0,a_1,\dots$ son números reais e a serie é converxente a $f(x)$ para $x$ nunha veciñanza de $x_0$.

Alternativamente, unha función analítica real é unha función infinitamente diferenciable tal que a serie de Taylor en calquera punto $x_0$ no seu dominio

$T(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

converxe a $f(x)$ para $x$ nunha veciñanza punto por punto de $x_0$ .Modelo:Efn O conxunto de todas as funcións analíticas reais nun conxunto dado $D$ adoita denotarse por ${𝒞}^{\omega }(D)$, ou só por ${𝒞}^{\omega }$ se se sobreentende o dominio.

A definición dunha función analítica complexa obtense substituíndo, nas definicións anteriores, "real" por "complexo" e "recta real" por "plano complexo". Unha función é analítica complexa se e só se é holomorfa, é dicir, é derivábel complexa. Por esta razón, os termos "holomorfo" e "analítica" adoitan usarse indistintamente para esas funcións.Modelo:Sfnp

Exemplos

Exemplos típicos de funcións analíticas son

• As seguintes funcións elementais:
  • Todos os polinomios: se un polinomio ten grao n, calquera termo de grao maior que n na súa expansión da serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, polo que esta serie será trivialmente converxente. A maiores, todo polinomio é a súa propia serie de Maclaurin.
  • A función exponencial é analítica. Calquera serie de Taylor para esta función converxe non só para x o suficientemente próximo a x₀ (como na definición) senón para todos os valores de x (real ou complexo).
  • As funcións trigonométricas, o logaritmo e as funcións de potencias son analíticas en calquera conxunto aberto do seu dominio.
• A maioría das funcións especiais (polo menos nalgún rango do plano complexo):
  • Funcións hiperxeométricas
  • Funcións de Bessel
  • Funcións gamma

Exemplos típicos de funcións que non son analíticas son

• A función de valor absoluto cando se define no conxunto de números reais ou complexos non é analítica en todas as partes porque non é diferenciábel en 0.
• As funcións definidas por intervalos (funcións dadas por diferentes fórmulas en diferentes rexións) normalmente non son analíticas onde se atopan os intervalos.
• A función conxugada complexa z → z * non é analítica complexa, aínda que a súa restrición á liña real é a función de identidade e, polo tanto, analítica real, e é analítica real como función de ${ℝ}^2$ a ${ℝ}^2$.
• Outras funcións suaves non analíticas e, en particular, calquera función suave $f$ con soporte compacto, é dicir $f\in {𝒞}_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$, non pode ser analítica en ${ℝ}^n$.

Caracterizacións alternativas

As seguintes condicións son equivalentes:

1. $f$ é analítica real nun conxunto aberto $D$.
2. Hai unha extensión analítica complexa de $f$ a un conxunto aberto $G\subset ℂ$ que contén $D$.
3. $f$ é suave e para todo conxunto compacto $K\subset D$ existe unha constante $C$ tal que para cada $x\in K$ e todo número enteiro non negativo $k$ o seguinte límite cúmpreseModelo:Sfn

$|\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)|\le C^{k+1}k!$

As funcións analíticas complexas son exactamente equivalentes ás funcións holomorfas e, polo tanto, caracterízanse moito máis facilmente.

Propiedades das funcións analíticas

• As sumas, produtos e composicións das funcións analíticas son analíticas.
• O recíproco dunha función analítica que non é cero en ningún lugar é analítica, así como a inversa dunha función analítica invertíbel cuxa derivada non é cero. (Véxase tamén o teorema de inversión de Lagrange).
• Calquera función analítica é suave, é dicir, infinitamente diferenciábel. O inverso non é certo para as funcións reais; de feito, en certo sentido, as funcións analíticas reais son escasas en comparación con todas as funcións reais infinitamente diferenciábeis. Para os números complexos, a inversa vale, e de feito calquera función diferenciábel unha vez nun conxunto aberto é analítica nese conxunto.
• Para todo conxunto aberto $\mathrm{\Omega }\subseteq ℂ$, o conxunto A(Ω) de todas as funcións analíticas $u:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ é un espazo de Fréchet en relación á converxencia uniforme en conxuntos compactos. O feito de que os límites uniformes dos conxuntos compactos de funcións analíticas sexan analíticos é unha consecuencia sinxela do teorema de Morera. O conxunto $A_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ de todas as funcións analíticas limitadas coa norma suprema é un espazo de Banach.

Analítica e diferenciábel

Existen funcións reais suaves que non son analíticas, de feito, hai moitas funcións deste tipo.

A situación é ben diferente cando se consideran funcións analíticas complexas e derivadas complexas. Pódese probar que calquera función complexa diferenciábel (no sentido complexo) nun conxunto aberto é analítica. En consecuencia, na análise complexa, o termo función analítica é sinónimo de función holomorfa.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Ecuacións de Cauchy–Riemann
• Función holomorfa
• Teorema de Paley–Wiener
• Función suave non analítica

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:MathWorld
• Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov