Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o factorial descendente, defínese como o polinomio,$$\begin{array}{cc}(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}& =\stackrel{n\text{ factores}}{\overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}}\\ & =\prod _{k=1}^n(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{array}$$O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer ) defínese como$$\begin{array}{cc}{x}^{(n)}=x^{\bar{n}}& =\stackrel{n\text{ factores}}{\overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}}\\ & =\prod _{k=1}^n(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{array}$$En ambos os casos o valor é 1 cando Modelo:Nowrap. Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.

O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación Modelo:Math, onde Modelo:Mvar é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente Modelo:Math con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}).$

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo Modelo:Math úsase para representar o factorial descendente e o símbolo Modelo:Math para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth $x^{\underset{\_}{n}}$ e $x^{\bar{n}}$ son cada vez máis populares. Son moi usados na función hiperxeométrica.

Exemplos e interpretación combinatoria

Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:$$\begin{array}{cccc}(x{)}_0& & & =1\\ (x{)}_1& & & =x\\ (x{)}_2& =x(x-1)& & =x^2-x\\ (x{)}_3& =x(x-1)(x-2)& & =x^3-3x^2+2x\\ (x{)}_4& =x(x-1)(x-2)(x-3)& & =x^4-6x^3+11x^2-6x\end{array}$$Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:$$\begin{array}{cccc}{x}^{(0)}& & & =1\\ x^{(1)}& & & =x\\ x^{(2)}& =x(x+1)& & =x^2+x\\ x^{(3)}& =x(x+1)(x+2)& & =x^3+3x^2+2x\\ x^{(4)}& =x(x+1)(x+2)(x+3)& & =x^4+6x^3+11x^2+6x\end{array}$$Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.

Propiedades

Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:$$\begin{array}{cccc}{(x)}_n& ={(x-n+1)}^{(n)}& & =(-1{)}^n(-x{)}^{(n)},\\ x^{(n)}& ={(x+n-1)}_n& & =(-1{)}^n(-x{)}_n.\end{array}$$Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario:$$\begin{array}{cc}n!& =1^{(n)}=(n{)}_n,\\ (m{)}_n& =\frac{m!}{(m-n)!},\\ m^{(n)}& =\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.\end{array}$$Os factoriais descendentes e crecentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial:$$\begin{array}{cc}\frac{(x{)}_n}{n!}& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}),\\ \frac{x^{(n)}}{n!}& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n}).\end{array}$$O factorial descendente pódese estender a valores reais de Modelo:Mvar usando a función gamma sempre que Modelo:Mvar e Modelo:Math sexan números reais que non son enteiros negativos:$$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)},$$e tamén pode o factorial ascendente:$$x^{(n)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$$O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para Modelo:Math pola serie de potencias$${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$sempre que Modelo:Nowrap Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación Modelo:Math para factoriais ascendentes.

Notacións alternativas

Unha notación alternativa para o factorial ascendente$$x^{\bar{m}}\equiv (x{)}_{+m}\equiv (x{)}_m=\stackrel{m\text{ factores}}{\overbrace{x(x+1)\dots (x+m-1)}}\text{para enteiros }m\ge 0$$e para o factorial descendente$$x^{\underset{\_}{m}}\equiv (x{)}_{-m}=\stackrel{m\text{ factores}}{\overbrace{x(x-1)\dots (x-m+1)}}\text{para enteiros }m\ge 0$$

Véxase tamén

Outros artigos

• [[:en:Pochhammer k-symbol|Pochhammer Modelo:Mvar-symbol]]
• Identidade de Vandermonde

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Modelo:Cite web — Elementary proofs