Número de Bernoulli

Números de Bernoulli Modelo:Math

Modelo:Mvar	fracción	decimal
0	1	+1.000000000
1	±Modelo:Sfrac	±0.500000000
2		+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−Modelo:Sfrac	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6		+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−Modelo:Sfrac	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10		+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−Modelo:Sfrac	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14		+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−Modelo:Sfrac	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18		+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−Modelo:Sfrac	−529.1242424

En matemáticas, os números de Bernoulli Modelo:Math son unha sucesión de números racionais que ocorren con frecuencia na análise matemática. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión da serie de Taylor das funcións tanxente e tanxente hiperbólica, na fórmula de Faulhaber para a suma das m-avas potencias dos primeiros n enteiros positivos, na fórmula de Euler-Maclaurin, e en expresións para certos valores da función zeta de Riemann.

Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por $B_n^{-}$ e $B_n^{+}$; difiren só para Modelo:Math, onde $B_1^{-}=-1/2$ e $B_1^{+}=+1/2$. Para todo impar Modelo:Math, Modelo:Math. Para todo Modelo:Math par, Modelo:Math é negativo se Modelo:Math é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dos polinomios de Bernoulli $B_n(x)$, con $B_n^{-}=B_n(0)$ e $B_n^{+}=B_n(1)$.

Notación

O superíndice Modelo:Math usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termo Modelo:Math:

• Modelo:Math with Modelo:MathModelo:Math (Modelo:OEIS / Modelo:OEIS) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos.Modelo:Sfnp
• Modelo:Math with Modelo:MathModelo:Math (Modelo:OEIS / Modelo:OEIS) utilizouse nos artigos antigos,Modelo:R e (desde 2022) por Donald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación $B_n^{+}=(-1{)}^n{B}_n^{-}$, ou para o número enteiro Modelo:Mvar = 2 ou maior, simplemente ignoralo.

Dado que Modelo:Math para todos Modelo:Math, e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben " Modelo:Math" en lugar de Modelo:Math. Este artigo non segue esa notación.

Historia

Primeiros tempos

Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade.

Unha páxina do Katsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli.

O resultado de Bernoulli foi publicado póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén póstumamente, en 1712. Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.

A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión de Abraham de Moivre.

A fórmula de Bernoulli chámase ás veces fórmula de Faulhaber por Johann Faulhaber quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo KnuthModelo:Sfnp Carl Jacobi publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.

Reconstrución de "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮

Os números de Bernoulli Modelo:OEIS (n)/ OEIS Modelo:OEIS (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotados Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece como Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math. A expresión Modelo:Math significa Modelo:Math, os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación.

Usando a terminoloxía actual estas expresións son factoriais descendentes Modelo:Math. A notación factorial Modelo:Math como atallo para Modelo:Math non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 que o usou como unha letra longa Modelo:Math para "summa" (suma). A letra Modelo:Math do lado esquerdo non é un índice de suma, senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como Modelo:Math . Xuntando estas cousas, para un Modelo:Math positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:

$\sum _{k=1}^n{k}^c=\frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac{1}{2}{n}^c+\sum _{k=2}^c\frac{B_k}{k!}{c}^{\underset{\_}{k-1}}{n}^{c-k+1}.$

Esta fórmula suxire estabelecer Modelo:Math, así temos

$\sum _{k=1}^n{k}^c=\sum _{k=0}^c\frac{B_k}{k!}{c}^{\underset{\_}{k-1}}{n}^{c-k+1}$

se Modelo:Math, recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.

A fórmula para ${\sum }_{k=1}^n{k}^9$ na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser $-\frac{3}{20}{n}^2$ en vez de $-\frac{1}{12}{n}^2$.

Definicións

Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:

• unha ecuación recursiva,
• unha fórmula explícita,
• unha función xeradora,
• unha expresión integral.

Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e Rosen.

Definición recursiva

Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma Modelo:R

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k^{-}& ={\delta }_{m,0}\\ \sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k^{+}& =m+1\end{array}$

onde $m=0,1,2...$ e Modelo:Math denota o delta de Kronecker.

A primeira delas ás veces escríbese como a fórmula (para m > 1)

$(B+1{)}^m-B_m=0,$

onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e $B^k$ substitúese por $B_k$.

Resolvendo para $B_m^{\mp }$ dá as fórmulas recursivas

$\begin{array}{cc}{B}_m^{-}& ={\delta }_{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k^{-}}{m-k+1},\\ B_m^{+}& =1-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k^{+}}{m-k+1}.\end{array}$

Definición explícita

En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli, normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por $m\ge 1$):

$\begin{array}{cc}{B}_m^{-}& =\sum _{k=0}^m\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-1{)}^j{j}^m,\\ B_m^{+}& =\sum _{k=0}^m\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^m.\end{array}$

Función xeradora

As funcións xeradoras exponenciais son

$\begin{array}{cccc}\frac{t}{e^t-1}& =\frac{t}{2}(\coth \frac{t}{2}-1)& & =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_m^{-}{t}^m}{m!},\\ \frac{t{e}^t}{e^t-1}=\frac{t}{1-e^{-t}}& =\frac{t}{2}(\coth \frac{t}{2}+1)& & =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_m^{+}{t}^m}{m!}.\end{array}$

A función xeradora ordinaria

$z^{-1}{\psi }_1(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m^{+}{z}^m$

é unha serie asintótica. Contén a función trigamma Modelo:Math (segunda derivada do logaritmo da función gamma).

Expresión con integral

Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:

$B_{2n}=4n(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t$.

Os números de Bernoulli e a función zeta de Riemann

Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann.

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann:

Modelo:Math para Modelo:Math.

Aquí o argumento da función zeta é 0 ou negativo. Como $\zeta (k)$ é cero para os enteiros pares negativos (os ceros triviais), se n>1 é impar, $\zeta (1-n)$ é cero.

Mediante a ecuación funcional da zeta e a fórmula de reflexión gamma pódese obter a seguinte relación:Modelo:Sfnp

$B_{2n}=\frac{(-1{)}^{n+1}2(2n)!}{(2\pi {)}^{2n}}\zeta (2n)$ para Modelo:Math.

Agora o argumento da función zeta é positivo.

De Modelo:Math ( Modelo:Math ) e da fórmula de Stirling despréndese que

$|B_{2n}|\sim 4\sqrt{\pi n}{\left(\frac{n}{\pi e}\right)}^{2n}$ para Modelo:Math.

Análise asintótica

Modelo:Ap Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso na fórmula de Euler-Maclaurin. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos da derivada máis alta Modelo:Math avaliada nos extremos do intervalo.

Asumindo que Modelo:Mvar é unha función suficientemene diferenciábel (Modelo:Mvar veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir comoModelo:Sfnp

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k^{-}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

Esta formulación asume a convención Modelo:Math.

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k^{+}}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

Aquí $f^{(0)}=f$ (é dicir, a derivada de orde cero de $f$ é xusto $f$). Alén diso, sexa $f^{(-1)}$ a antiderivada de $f$. Segundo o teorema fundamental do cálculo temos,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^m\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

Onde $R(f,m)$ é o termo de erro, que adoita ser pequeno para valores adecuados de Modelo:Mvar.

Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta

$\begin{array}{cc}\zeta (s)& =\sum _{k=0}^m\frac{B_k^{+}}{k!}{s}^{\overline{k-1}}+R(s,m)\\ & =\frac{B_0}{0!}{s}^{\overline{-1}}+\frac{B_1^{+}}{1!}{s}^{\bar{0}}+\frac{B_2}{2!}{s}^{\bar{1}}+\cdots +R(s,m)\\ & =\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}s+\cdots +R(s,m).\end{array}$

Aquí Modelo:Math denota o factorial ascendente.Modelo:Sfnp

Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos de expansións asintóticas. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré da función digamma Modelo:Math (derivada do logaritmo da función gamma).

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k^{+}}{k{z}^k}$.

Suma de potencias

Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión en forma pechada da suma das potencias Modelo:Math-ésimas dos primeiros Modelo:Math números enteiros positivos. Para Modelo:Math definimos

$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+\cdots +n^m.$

Esta expresión sempre pode reescribirse como un polinomio en Modelo:Math de grao Modelo:Math. Os coeficientes destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli pola fórmula de Bernoulli:

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k^{+}{n}^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^m\frac{B_k^{+}{n}^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!},$

onde Modelo:Math denota o coeficiente binomial.

Por exemplo, tomando Modelo:Math como 1 dá os números triangulares Modelo:Math Modelo:OEIS.

$1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}(B_0{n}^2+2B_1^{+}{n}^1)=\frac{1}{2}(n^2+n).$

Serie de Taylor

Os números de Bernoulli aparecen na expansión da serie de Taylor de moitas funcións trigonométricas e funcións hiperbólicas.

$\begin{array}{cccc}\tan x& =\phantom{\frac{1}{x}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},& & \left|x\right|<\frac{\pi }{2}.\\ \cot x& =\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{B}_{2n}(2x{)}^{2n}}{(2n)!},& 0<& |x|<\pi .\\ \tanh x& =\phantom{\frac{1}{x}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},& & |x|<\frac{\pi }{2}.\\ \coth x& =\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(2x{)}^{2n}}{(2n)!},& 0<& |x|<\pi .\end{array}$

Serie Laurent

Os números de Bernoulli aparecen na serie de Laurent Modelo:Sfnp da función digamma: $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k^{+}}{k{z}^k}$.

Conexións con números combinatorios

A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, o principio de inclusión-exclusión.

Conexión cos números de Stirling do segundo tipo

Se se definen os polinomios de Bernoulli Modelo:Math como:

$B_k(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m+1})S(k-1,m)m!+B_k$

onde Modelo:Math para Modelo:Math son os números de Bernoulli e Modelo:Math é un número de Stirling do segundo tipo.

Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,Modelo:R

$B_k(j)=\sum _{n=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})B_n{j}^{k-n}.$

O coeficiente de Modelo:Mvar en Modelo:Math é Modelo:Math.

Comparando o coeficiente de Modelo:Mvar nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:

$B_k=\sum _{m=0}^{k-1}(-1{)}^m\frac{m!}{m+1}S(k-1,m)$

que é unha fórmula explícita para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar o Teorema de Von-Staudt Clausen..

Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo

As dúas fórmulas principais que relacionan os números de Stirling sen signo do primeiro tipo Modelo:Math cos números de Bernoulli (con Modelo:Math) son:

$\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k+1}\right]B_k=\frac{1}{m+1},$

e a inversión desta suma (para Modelo:Math, Modelo:Math )

$\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.$

Aquí o número Modelo:Math son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa.

número de Akiyama-Tanigawa

Modelo:Diagonal split header	0	1	2	3	4
0	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	...
2	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	...	...
3	0	Modelo:Sfrac	...	...	...
4	−Modelo:Sfrac	...	...	...	...

Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unha relación de recorrencia sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli. Ver Modelo:OEIS / Modelo:OEIS.

Conexión co triángulo de Pascal

Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli Modelo:Efn

$B_n^{+}=\frac{|A_n|}{(n+1)!}$

onde $|A_n|$ é o determinante dunha matriz de Hessenberg da parte n-por-n do triángulo de Pascal cuxos elementos son: $a_{i,k}=\{\begin{array}{cc}0& \text{se }k>1+i\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{i+1}{k-1})& \text{noutro caso}\end{array}$

Exemplo:

$B_6^{+}=\frac{\det \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 0& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 0& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5& 0\\ 1& 6& 15& 20& 15& 6\\ 1& 7& 21& 35& 35& 21\end{array}\right)}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac{1}{42}$.

Relación cos números eulerianos

Hai fórmulas que relacionan os números eulerianos Modelo:Math cos números de Bernoulli:

$\begin{array}{cc}\sum _{m=0}^n(-1{)}^m⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}⟩& =2^{n+1}(2^{n+1}-1)\frac{B_{n+1}}{n+1},\\ \sum _{m=0}^n(-1{)}^m⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}⟩{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}^{-1}& =(n+1)B_n.\end{array}$

Ambas as fórmulas son válidas para Modelo:Math se Modelo:Math se vale Modelo:Sfrac. Se Modelo:Math vale −Modelo:Sfrac só son válidas para Modelo:Math e Modelo:Math respectivamente.

Representación integral e continuación analítica

A integral

$b(s)=2e^{si\pi /2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s{t}^s}{1-e^{2\pi t}}\frac{dt}{t}=\frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta (s)}{{\pi }^s}(-i{)}^s=\frac{2s!\zeta (s)}{(2\pi i{)}^s}$

ten como valores especiais Modelo:Math para Modelo:Math .

Por exemplo, Modelo:Math e Modelo:Math. Onde, Modelo:Mvar denota a Función zeta de Riemann, e Modelo:Mvar denota a unidade imaxinaria.

Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou

$\begin{array}{cc}p& =\frac{3}{2{\pi }^3}(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots )=0.0581522\dots \\ q& =\frac{15}{2{\pi }^5}(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots )=0.0254132\dots \end{array}$

Outra representación integral similar é

$b(s)=-\frac{e^{si\pi /2}}{2^s-1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s{t}^s}{\sinh \pi t}\frac{dt}{t}=\frac{2e^{si\pi /2}}{2^s-1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{\pi t}s{t}^s}{1-e^{2\pi t}}\frac{dt}{t}.$

A relación cos números de Euler e Modelo:Pi

Os números de Euler son ​​unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de Euler Modelo:Math teñen unha magnitude aproximadamente Modelo:Math veces maior que os números de Bernoulli Modelo:Math.

En consecuencia:

$\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n})\frac{B_{2n}}{E_{2n}}.$

Esta ecuación asintótica revela que Modelo:Pi reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feito Modelo:Pi podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.

Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, para Modelo:Mvar impar, Modelo:Math (coa excepción de Modelo:Math), abonda con considerar o caso cando Modelo:Mvar é par.

$\begin{array}{cccc}{B}_n& =\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})\frac{n}{4^n-2^n}{E}_k& n& =2,4,6,\dots \\ E_n& =\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})\frac{2^k-4^k}{k}{B}_k& n& =2,4,6,\dots \end{array}$

Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel

A secuencia S_n ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores de S_n+1 dividen o factorial de Modelo:Math. Noutras palabras: os números Modelo:Math son números enteiros. Ás veces chamados números en zigzag de Euler ou permutacións alternadas.

$T_n=1,1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,50521,353792,\dots n=0,1,2,3,\dots$ (Modelo:OEIS). Consulte (Modelo:OEIS).

A súa función xeradora exponencial é a suma das funcións secante e tanxente.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n\frac{x^n}{n!}=\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})=\sec x+\tan x$.

Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como

$\begin{array}{cccc}{B}_n& =(-1{)}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }[n\text{ par}]\frac{n}{2^n-4^n}{T}_{n-1}& n& \ge 2\\ E_n& =(-1{)}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }[n\text{ par}]T_n& n& \ge 0\end{array}$

Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de Euler Modelo:Math veñen dados inmediatamente por Modelo:Math e os números de Bernoulli Modelo:Math son fraccións obtidas de Modelo:Math mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.

O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os números Modelo:Math. Porén, xa en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo de Modelo:Math.

1. Comece poñendo 1 na fila 0 e sexa Modelo:Math o número da fila que se está a cubrir actualmente.
2. Se Modelo:Math é impar, poña o número no extremo esquerdo da fila Modelo:Math na primeira posición da fila Modelo:Math, e encha a fila de esquerda a dereita, sendo cada entrada a suma do número á esquerda e o número na parte superior.
3. Ao final da fila duplique o último número.
4. Se Modelo:Math é par, proceda de xeito similar na outra dirección.

O algoritmo de Seidel é de feito moito máis xeral (ver a exposición de Dominique Dumont ) e foi redescuberto varias veces despois.

Similar ao enfoque de Seidel, D. E. Knuth e T. J. Buckholtz deron unha ecuación de recorrencia para os números Modelo:Math e recomendaron este método para calcular Modelo:Math e Modelo:Math "en computadoras electrónicas usando só operacións simples en números enteiros".

V. I. Arnold redescubriu o algoritmo de Seidel e máis tarde Millar, Sloane e Young popularizaron o algoritmo de Seidel baixo o nome de transformada do bustrófedon (onde Bustrófedon fai referencia a un sistema de escritura que muda alternativamente de sentido de liña en liña).

Propiedades aritméticas dos números de Bernoulli

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann como Modelo:Math para números enteiros Modelo:Math (para Modelo:Math a expresión Modelo:Math enténdese como o valor límite).

Isto relaciónaos intimamente cos valores da función zeta en números enteiros negativos. Como tal, podería esperarse que teñan propiedades aritméticas profundas. Por exemplo, a conxectura de Agoh-Giuga postula que Modelo:Mvar é un número primo se e só se Modelo:Math é congruente con −1 módulo Modelo:Mvar.

Por un teorema de Kummer as propiedades de divisibilidade dos números de Bernoulli están relacionadas cos grupo de clases de ideais dos corpos ciclotómicos. Nunha versión máis forte temos o teorema de Herbrand-Ribet. E unha relación a maiores cos números de clase de corpos cadráticos reais pola congruencia de Ankeny-Artin-Chowla.

Os teoremas de Kummer

Modelo:Principal Os números de Bernoulli están relacionados co Último Teorema de Fermat (FLT) polo teorema de Kummer, que di:

Se o primo impar Modelo:Mvar non divide ningún dos numeradores dos números de Bernoulli Modelo:Math daquela Modelo:Math non ten solucións en números enteiros distintos de cero.

Os números primos con esta propiedade chámanse primos regulares.

Outro resultado clásico de Kummer son as seguintes congruencias.

Sexa Modelo:Mvar un número primo impar e Modelo:Mvar un número par tal que Modelo:Math non divida Modelo:Mvar. Entón, para calquera número enteiro non negativo Modelo:Mvar

$\frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}\equiv \frac{B_b}{b}(\mathrm{mod}p).$

Unha xeneralización destas congruencias leva o nome de continuidade Modelo:Math-ádica.

Continuidade Modelo:Math-ádica

(Para unha introdución aos números p-ádicos ver número p-ádico).

Se Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son números enteiros positivos tal que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar non son divisíbeis por Modelo:Math e Modelo:Math, entón

$(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m}\equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n}{n}(\mathrm{mod}{p}^b).$

Dado que Modelo:Math, isto tamén se pode escribir como

$(1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)(\mathrm{mod}{p}^b),$

onde Modelo:Math e Modelo:Math, polo que que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar non son positivos e non son congruentes con 1 módulo Modelo:Math.

Isto indícanos que a función zeta de Riemann, con Modelo:Math eliminado da fórmula do produto de Euler, é continua nos [[número p-ádico|números Modelo:Mvar-ádicos]] en enteiros negativos impares congruentes módulo Modelo:Math a un determinado $a\equiv ̸1(\mathrm{mod}p-1)$, polo que se pode estender a unha función continua Modelo:Math para todos os Modelo:Mvar-ádicos enteiros ${\mathbb{Z}}_p,$ a [[función zeta p-ádica|función zeta Modelo:Mvar-ádica]].

Congruencias de Ramanujan

As seguintes relacións, debidas a Ramanujan, proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que é máis eficiente que o dado pola súa definición recursiva orixinal:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m})B_m=\{\begin{array}{cc}\frac{m+3}{3}-\sum _{j=1}^{\frac{m}{6}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{se }m\equiv 0(\mathrm{mod}6);\\ \frac{m+3}{3}-\sum _{j=1}^{\frac{m-2}{6}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{se }m\equiv 2(\mathrm{mod}6);\\ -\frac{m+3}{6}-\sum _{j=1}^{\frac{m-4}{6}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{se }m\equiv 4(\mathrm{mod}6).\end{array}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita revista.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita arXiv.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita web.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita web.
• Modelo:Cita web.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita web.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita libro.
• Modelo:Cita web.
• Modelo:Cita arXiv.
• Modelo:Cita libro.

Outros artigos

• Polinomio de Bernoulli
• Polinomio de Bernoulli do segundo tipo
• Bernoulli sombra
• Número de Bell
• Números de Euler
• Número de Genocchi
• Congruencias de Kummer
• Función zeta de Hurwitz
• Sumatorio de Euler
• Polinomio de Stirling
• Sumas de potencias

Ligazóns externas

• Modelo:SpringerEOM
• The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg
• A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
• The Bernoulli Number Page
• Bernoulli number programs at LiteratePrograms
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web