Función meromorfa

No campo matemático da análise complexa, unha función meromorfa nun subconxunto aberto D do plano complexo é unha función que é holomorfa en todo D agás nun conxunto de puntos illados, que son polos da función. O termo provén do grego meros ( μέρος ), que significa "parte". Modelo:Efn

Toda función meromorfa en D pódese expresar como a razón entre dúas funcións holomorfas (co denominador distinto da constante 0) definidas en D: calquera polo debe coincidir cun cero do denominador.

A función gamma é meromorfa en todo o plano complexo.

Descrición intuitiva

Intuitivamente, unha función meromorfa é unha relación de dúas funcións que se comportan ben (holomorfas). A función meromorfa aínda terá un bo comportamento en case todos os puntos, agás posibelmente nos puntos onde o denominador da fracción sexa cero. Se o denominador ten un cero en z e o numerador non, entón o valor da función achegarase ao infinito; se numerador e denominador teñen un cero en z, entón hai que comparar a multiplicidade destes ceros.

Desde un punto de vista alxébrico, se o dominio da función está conectado, entón o conxunto de funcións meromorfas é o corpo de fraccións do dominio de integridade do conxunto de funcións holomorfas. Isto é análogo á relación entre os números racionais e os enteiros.

Propiedades

Dado que os polos están illados, unha función meromorfa so pode ter numerabelmente moitos polos. O conxunto de polos pode ser infinito, como exemplifica a función

$f(z)=\csc z=\frac{1}{\sin z}.$

Usando a continuación analítica para eliminar as singularidades eliminábeis, pódense engadir, restar, multiplicar funcións meromorfas, tamén se pode formar o cociente $f/g$ a non ser que $g(z)=0$ nun conxunto conexo de D. Así, se D é conexo, as funcións meromorfas forman un corpo, de feito unha extensión do corpo dos números complexos .

Exemplos

• Todas as funcións racionais, por exemplo

$f(z)=\frac{z^3-2z+10}{z^5+3z-1},$

son meromorfas en todo o plano complexo. A maiores, son as únicas funcións meromorfas no plano complexo estendido.

• As funcións $f(z)=\frac{e^z}{z}\text{and}f(z)=\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}$así como a función gamma e a función zeta de Riemann son meromorfas en todo o plano complexo.
• A función

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

está definida en todo o plano complexo agás na orixe, 0. Porén, 0 non é un polo desta función, senón unha singularidade esencial. Así, esta función non é meromorfa en todo o plano complexo. No entanto, se sacamos o 0 do dominio, $ℂ\setminus \{0\}$, daquela a función é meromorfa e mesmo holomorfa no resto do dominio.

• Función logarítmica complexa

$f(z)=\ln (z)$

non é meromorfa en todo o plano complexo, xa que non se pode definir en todo o plano complexo simplemente excluíndo un conxunto de puntos illados.

• A función

$f(z)=\csc \frac{1}{z}=\frac{1}{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}$

non é meromorfa en todo o plano, xa que o punto $z=0$ é un punto de acumulación de polos e, polo tanto, non é unha singularidade illada.

• A función

$f(z)=\sin \frac{1}{z}$

tampouco non é meromorfa, xa que ten unha singularidade esencial en 0.

Sobre superficies de Riemann

Nunha superficie de Riemann, cada punto admite unha veciñanza aberta que é biholomorfa nun subconxunto aberto do plano complexo. Deste xeito, a noción de función meromorfa pódese definir para cada superficie de Riemann.

Cando D é a esfera de Riemann completa, o corpo das funcións meromorfas é simplemente o corpo das funcións racionais nunha variábel sobre o corpo complexo, xa que se pode probar que calquera función meromorfa na esfera é racional. (Este é un caso especial do chamado principio GAGA).

Para toda superficie de Riemann, unha función meromorfa é o mesmo que unha función holomorfa que se corresponde coa esfera de Riemann e que non é a función constante igual a $\mathrm{\infty }$. Os polos corresponden a aqueles números complexos que están asignados a $\mathrm{\infty }$.

Nunha superficie de Riemann non compacta, cada función meromorfa pódese realizar como un cociente de dúas funcións holomorfas (definidas globalmente). Pola contra, nunha superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa é constante, mentres que sempre existen funcións meromorfas non constantes.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Mittag-Leffler
• teorema da factorización de Weierstrass