1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

As catro primeiras sumas parciais da serie Modelo:Nowrap. A parábola é a súa asíntota suavizada; a súa intersección no eixo y é −1/12.

A serie infinita cuxos termos son os números naturais Modelo:Nowrap é unha serie diverxente. A n- ésima suma parcial da serie é o número triangular

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$

que aumenta sen límite cando n vai ao infinito. Debido a que a secuencia de sumas parciais non consegue converxer a un límite finito, a serie non ten unha suma.

En matemáticas úsanse moitos métodos de suma para asignar valores numéricos mesmo a unha serie diverxente. En particular, os métodos de regularización da función zeta e a suma de Ramanujan asignan á serie un valor deModelo:Sfrac que se expresa mediante unha famosa fórmula:

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12},$

onde o valor obtido debe ser interpretado como o valor obtido mediante un dos métodos de suma mencionados anteriormente e non como a suma dunha serie infinita no seu significado habitual. Estes métodos teñen aplicacións noutros campos como a análise complexa, a teoría cuántica de campos e a teoría de cordas.

Sumas parciais

Os seis primeiros números triangulares

As sumas parciais da serie Modelo:Nowrap son Modelo:Nowrap, etc. A n-ésima suma parcial vén dada por unha fórmula sinxela:

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Esta ecuación era coñecida polos pitagóricos xa no século VI a.C. Os números desta forma chámanse números triangulares, porque poden ordenarse como un triángulo equilátero.

Sumabilidade

Pasaxe do primeiro caderno de Ramanujan que describe a "constante" da serie

Srinivasa Ramanujan presentou dúas deducións de " Modelo:Nowrap no capítulo 8 do seu primeiro caderno.

Baseado na serie alternada

A primeira idea clave é que a serie de números positivos Modelo:Nowrap parécese moito á serie alternada Modelo:Nowrap. Esta última serie tamén é diverxente, mais é moito máis doado de traballar; existen varios métodos clásicos que lle atribúen un valor, que se exploran dende o século XVIII.

$\begin{array}{ccccccc}c=& & 1+2& & +3+4& & +5+6+\cdots \\ 4c=& & 4& & +8& & +12+\cdots \\ c-4c=& & 1-2& & +3-4& & +5-6+\cdots \end{array}$

A segunda idea clave é que a serie alternada Modelo:Nowrap é a expansión formal da serie de potencias (para x no punto 0) da función $\frac{1}{1+x}$ que é $1-2x+3x^2-4x^3+\dots$ avaliada para $x=1$. En consecuencia, Ramanujan escribe

$-3c=1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense $-\frac{1}{12}$.

Regularización da función zeta

Gráfica de ζ(s). Para Modelo:Nowrap, a serie converxe e Modelo:Nowrap. O prolongamento analítico arredor do polo en Modelo:Nowrap leva a unha rexión de valores negativos, incluíndo Modelo:Nowrap

Na regularización da función zeta, a serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}n$ substitúese pola serie ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}.$ Esta última serie é un exemplo dunha serie de Dirichlet. Cando a parte real de s é maior que 1, a serie de Dirichlet converxe, e a súa suma é a función zeta de Riemann ζ(s). Por outra banda, a serie de Dirichlet diverxe cando a parte real de s é menor ou igual a 1, polo que, en particular, a serie Modelo:Nowrap que resulta de estabelecer Modelo:Nowrap non converxe. O beneficio de introducir a función zeta de Riemann é que se pode definir para outros valores de s mediante a continuación analítica. Pódese entón definir a suma zeta-regularizada de Modelo:Nowrap como ζ (−1).

A partir deste punto, hai algunhas formas de demostrar que Modelo:Nowrap

$\begin{array}{cccccccc}\zeta (s)& =& 1^{-s}+2^{-s}& & +3^{-s}+4^{-s}& & +5^{-s}+6^{-s}+\cdots & \\ 2\times 2^{-s}\zeta (s)& =& 2\times 2^{-s}& & +2\times 4^{-s}& & +2\times 6^{-s}+\cdots & \\ (1-2^{1-s})\zeta (s)& =& 1^{-s}-2^{-s}& & +3^{-s}-4^{-s}& & +5^{-s}-6^{-s}+\cdots & =\eta (s).\end{array}$

A identidade $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ séguese cumprindo cando ambas as funcións se estenden mediante o prolongamento analítico para incluír valores de s para os que diverxen as series anteriores. Substituíndo Modelo:Nowrap, obtense Modelo:Nowrap. Agora, calcular η(−1) é unha tarefa máis sinxela, xa que a función eta é igual á suma de Abel da serie que a define, que é un límite unilateral:

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots )=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense $\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$

Sumatorio de Ramanujan

A suma Ramanujan de Modelo:Nowrap tamén é Modelo:Sfrac. Está recollido nunha carta que envía a G. H. Hardy, no 27 de febreiro de 1913.

A suma de Ramanujan é un método para illar o termo constante na fórmula de Euler-Maclaurin para as sumas parciais dunha serie. Para unha función f, a suma clásica de Ramanujan da serie ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ defínese como

$c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0),$

onde f^(2k−1) é a (2k − 1)-ésima derivada de f e B_2k é o (2k)-ésimo número de Bernoulli: Modelo:Nowrap, Modelo:Nowrap, etc. Facendo Modelo:Nowrap, a primeira derivada de f é 1, e todos os demais termos desaparecen, polo que

$c=-\frac{1}{6}\times \frac{1}{2!}=-\frac{1}{12}.$

Para evitar inconsistencias, a teoría moderna do sumatorio de Ramanujan require que f sexa "regular" no sentido de que as derivadas de orde superior de f decaen o suficientemente rápido como para que os termos restantes na fórmula de Euler-Maclaurin tenden a 0. Ramanujan asumiu tácitamente esta propiedade. O requisito de regularidade impide o uso da suma Ramanujan en series espaciadas como Modelo:Nowrap, porque ningunha función regular toma eses valores. Pola contra, tal serie debe interpretarse mediante a regularización da función zeta. Por este motivo, Hardy recomenda "gran precaución" ao aplicar as sumas Ramanujan das series coñecidas para atopar as sumas das series relacionadas.Modelo:Sfn

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Serie diverxente.

Ligazóns externas

• Lamb E. (2014), "Does 1+2+3... Really Equal –1/12?", Scientific American Blogs.
• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
  • Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 – by John Baez
  • Modelo:Cite web
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl

• • Suma de números naturais (segunda proba e imaxes extra) inclúe unha demostración do método de Euler.
  • Why –1/12 is a gold nugget vídeo de seguimento de Numberphile de Edward Frenkel
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 por Brydon Cais daUniversity of Arizona