Subgrupo normal

En álxebra abstracta, un subgrupo normal (tamén coñecido como subgrupo invariante ou subgrupo autoconxugado)Modelo:Sfn é un subgrupo que é invariante baixo a conxugación de membros do grupo do que forma parte. Noutras palabras, un subgrupo $N$ do grupo $G$ é normal en $G$ se e só se $gn{g}^{-1}\in N$ para todos os $g\in G$ e $n\in N$. A notación habitual para esta relación é $N◃G$.

Os subgrupos normais son importantes porque eles (e só eles) poden usarse para construír grupos cocientes do grupo dado. Alén diso, os subgrupos normais de $G$ son precisamente os kernel dos homomorfismos de grupos con dominio $G$, o que significa que poden usarse para clasificar internamente eses homomorfismos.

Évariste Galois foi o primeiro en decatarse da importancia da existencia de subgrupos normais.Modelo:Sfn

Definicións

Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ chámase subgrupo normal de $G$ se é invariante baixo a conxugación; é dicir, a conxugación dun elemento de $N$ por un elemento de $G$ sempre está dentro de $N$.Modelo:Sfn A notación habitual para esta relación é $N◃G$ .

Condicións equivalentes

Para calquera subgrupo $N$ de $G$, as seguintes condicións son equivalentes para $N$ ser un subgrupo normal de $G$. Polo tanto, calquera delas pode tomarse como definición.

• A imaxe da conxugación de $N$ por calquera elemento de $G$ é igual a $N,$Modelo:Sfn é dicir, $gN{g}^{-1}=N$ para todos os $g\in G$.
• A imaxe da conxugación de $N$ por calquera elemento de $G$ é un subconxunto de $N$. Evidente polo punto anterior, así nas deducións é máis simple probar $gN{g}^{-1}\subseteq N$ para todos os $g\in G$.
• Para todos os $g\in G$, as coclases esquerda e dereita $gN$ e $Ng$ son iguais.Modelo:Sfn
• Os conxuntos de coclases esquerdas e dereitas de $N$ en $G$ coinciden.Modelo:Sfn
• A multiplicación en $G$ conserva a relación de equivalencia "está na mesma coclase esquerda que". É dicir, para cada $g,g^{\prime },h,h^{\prime }\in G$ que satisfaga $gN=g^{\prime }N$ e $hN=h^{\prime }N$, temos $(gh)N=(g^{\prime }{h}^{\prime })N$.
• Existe un grupo no conxunto de coclases esquerdas de $N$ onde a multiplicación de dúas coclases esquerdas calquera $gN$ e $hN$ dá a coclase esquerda $(gh)N$ (este grupo chámase grupo cociente de $G$ módulo $N$, denotado $G/N$).
• $N$ é unha unión de clases de conxugación de $G$.Modelo:Sfn
• $N$ presérvase polos automorfismos internos de $G$.Modelo:Sfn
• Existe algún homomorfismo de grupo $G\to H$ cuxo kernel é $N$.Modelo:Sfn
• Existe un homomorfismo de grupo $\varphi :G\to H$ cuxas fibras forman un grupo onde o elemento identidade é $N$ e a multiplicación de dúas fibras calquera ${\varphi }^{-1}(h_1)$ e ${\varphi }^{-1}(h_2)$ producen a fibra ${\varphi }^{-1}(h_1{h}_2)$ (este grupo é o mesmo grupo $G/N$ mencionado anteriormente).
• Hai algunha relación de congruencia en $G$ para a cal a clase de equivalencia do elemento identidade é $N$.
• Para todos os $n\in N$ e $g\in G$. o conmutador $[n,g]=n^{-1}{g}^{-1}ng$ está en $N$.Modelo:Cómpre referencia
• Dous elementos calquera conmutan módulo a relación normal de pertenza ao subgrupo. É dicir, para todo $g,h\in G$, $gh\in N$ se e só se $hg\in N$.Modelo:Cómpre referencia

Exemplos

Para calquera grupo $G$, o subgrupo trivial $\{e\}$ composto só polo elemento identidade de $G$ é sempre un subgrupo normal de $G$. Así mesmo, $G$ en si é sempre un subgrupo normal de $G$ (se estes son os únicos subgrupos normais, entón $G$ dise que é simple).Modelo:Sfn

Outros subgrupos normais dun grupo arbitrario con nome característico inclúen o centro do grupo (o conxunto de elementos que conmutan con todos os demais elementos) e o subgrupo conmutador. $[G,G]$. Modelo:Sfn Modelo:Sfn Máis xeralmente, dado que a conxugación é un isomorfismo, calquera subgrupo característico é un subgrupo normal.Modelo:Sfn

Se $G$ é un grupo abeliano, daquela cada subgrupo $N$ de $G$ é normal, porque $gN=\{gn{\}}_{n\in N}=\{ng{\}}_{n\in N}=Ng$. En xeral, para calquera grupo $G$, cada subgrupo do centro $Z(G)$ de $G$ é normal en $G$ (no caso especial de $G$ ser abeliano, o centro é todo $G$, daí o feito de que todos os subgrupos dun grupo abeliano son normais). Un grupo que non é abeliano mais para o que todos os subgrupos son normais chámase grupo hamiltoniano. Modelo:Sfn

Un exemplo concreto de subgrupo normal é o subgrupo $N=\{(1),(123),(132)\}$ do grupo simétrico $S_3$, composto pola identidade e ambos os tres ciclos. En particular, pódese comprobar que cada clase de $N$ é igual ao propio $N$ ou é igual a $(12)N=\{(12),(23),(13)\}$. Por outra banda, o subgrupo $H=\{(1),(12)\}$ non é normal en $S_3$ xa que $(123)H=\{(123),(13)\}\ne \{(123),(23)\}=H(123)$.Modelo:Sfn Isto ilustra o feito xeral de que calquera subgrupo $H\le G$ de índice dous é normal.

Como exemplo dun subgrupo normal dentro dun grupo linear, considere o grupo linear xeral ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ de todas as matrices $n\times n$ invertíveis con entradas reais baixo a operación de multiplicación matricial e o seu subgrupo ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ de todas as matrices $n\times n$ de determinante 1 (o grupo linear especial). Para ver por que o subgrupo ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ é normal en ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$, considere calquera matriz $X$ en ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ e calquera matriz invertíbel $A$. Agora empregando as dúas identidades importantes $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ e $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$, temos que$\det (AX{A}^{-1})=\det (A)\det (X)\det (A{)}^{-1}=\det (X)=1$, e daquela $AX{A}^{-1}\in {\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ tamén. Isto significa que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ é pechado baixo a conxugación en ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$, polo que é un subgrupo normal. Modelo:Efn

O grupo de translación é un subgrupo normal do grupo euclidiano en calquera dimensión.Modelo:Sfn Isto significa que aplicando unha transformación ríxida, seguida dunha translación e despois a transformación ríxida inversa, ten o mesmo efecto que unha única translación. Pola contra, o subgrupo de todas as rotacións sobre a orixe non é un subgrupo normal do grupo euclidiano, sempre que a dimensión sexa polo menos 2: primeiro trasladar, despois xirar sobre a orixe e despois trasladar de volta normalmente non fixará a orixe, e polo tanto, non terá o mesmo efecto que unha única rotación sobre a orixe.

Propiedades

• Se $H$ é un subgrupo normal de $G$, e $K$ é un subgrupo de $G$ que contén $H$, entón $H$ é un subgrupo normal de $K$.Modelo:Sfn
• Un subgrupo normal dun subgrupo normal dun grupo non ten por que ser normal no grupo. É dicir, a normalidade non é unha relación transitiva. O grupo máis pequeno que presenta este fenómeno é o grupo diédrico de orde 8.Modelo:Sfn Non obstante, un subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.Modelo:Sfn Un grupo no que a normalidade é transitiva chámase grupo T.Modelo:Sfn
• Os dous grupos $G$ e $H$ son subgrupos normais do seu produto directo $G\times H$.
• Se o grupo $G$ é un produto semidirecto $G=N⋊H$, entón $N$ é normal en $G$, aínda que $H$ non ten por que ser normal en $G$.
• Se $M$ e $N$ son subgrupos normais dun grupo aditivo $G$ tal que $G=M+N$ e $M\cap N=\{0\}$, daquela $G=M\oplus N$.Modelo:Sfn
• A normalidade consérvase baixo homomorfismos sobrexectivos;Modelo:Sfn é dicir, se $G\to H$ é un homomorfismo sobrexectivo de grupo e $N$ é normal en $G$, daquela a imaxe $f(N)$ é normal en $H$.
• A normalidade consérvase tomando imaxes inversas;Modelo:Sfn é dicir, se $G\to H$ é un homomorfismo de grupo e $N$ é normal en $H$, daquela a imaxe inversa $f^{-1}(N)$ é normal en $G$.
• Consérvase a normalidade ao tomar produtos directos;Modelo:Sfn é dicir, se $N_1◃G_1$ e $N_2◃G_2$, daquel $N_1\times N_2◃G_1\times G_2$.
• Cada subgrupo de índice 2 é normal. De forma máis xeral, un subgrupo, $H$, de índice finito, $n$, en $G$ contén un subgrupo, $K,$ normal en $G$ e de índice que divide $n!$ chamado corazón normal. En particular, se $p$ é o primo máis pequeno que divide a orde de $G$, daquela todos os subgrupos do índice $p$ son normais.Modelo:Sfn
• O feito de que os subgrupos normais de $G$ sexan precisamente os kernels dos homomorfismos de grupo definidos en $G$ explica parte da importancia dos subgrupos normais; son unha forma de clasificar internamente todos os homomorfismos definidos nun grupo. Por exemplo, un grupo finito non identitario é simple se e só se é isomorfo a todas as súas imaxes homomorfas non identitarias,Modelo:Sfn un grupo finito é perfecto se e só se non ten subgrupos normais de índice primo, e un grupo é imperfecto se e só se o subgrupo derivado non se complementa con ningún subgrupo normal propio.

Retícula de subgrupos normais

Dados dous subgrupos normais, $N$ e $M$, de $G$, a súa intersección $N\cap M$ e o seu produto $NM=\{nm:n\in N\text{ e }m\in M\}$ tamén son subgrupos normais de $G$.

Os subgrupos normais de $G$ forman unha retícula baixo a inclusión de subconxuntos co mínimo elemento, $\{e\}$, e o maior elemento, $G$. O "meet" de dous subgrupos normais, $N$ e $M$, nesta retícula é a súa intersección e o "join" é o seu produto.

Subgrupos normais, grupos cocientes e homomorfismos

Se $N$ é un subgrupo normal, podemos definir unha multiplicación en coclases secundarias do seguinte xeito:

$\left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_1{a}_2\right)N.$

Esta relación define un mapa $G/N\times G/N\to G/N$. Para mostrar que esta mapeo está ben definido, hai que demostrar que a elección dos elementos representativos $a_1,a_2$ non afecta o resultado. Para iso, considere algúns outros elementos representativos ${a_1}^{\prime }\in a_{1}N,{a_2}^{\prime }\in a_{2}N$. Daquela existen $n_1,n_2\in N$ tal que ${a_1}^{\prime }=a_1{n}_1,{a_2}^{\prime }=a_2{n}_2$. Dedúcese que

${a_1}^{\prime }{a_2}^{\prime }N=a_1{n}_1{a}_2{n}_{2}N=a_1{a}_2{n_1}^{\prime }{n}_{2}N=a_1{a}_{2}N$

onde tamén utilizamos o feito de que $N$ é un subgrupo Modelo:Em e, polo tanto, existe ${n_1}^{\prime }\in N$ tal que $n_1{a}_2=a_2{n_1}^{\prime }$. Isto demostra que este produto é un mapeo ben definido entre coclases.

Con esta operación, o conxunto de coclases secundarias é en si un grupo, chamado grupo cociente e denotado $G/N.$ Existe un homomorfismo natural, $f:G\to G/N$, dado por $f(a)=aN$. Este homomorfismo mapea $N$ no elemento identidade (ou elemento neutro) de $G/N$, que é a coclase $eN=N$, Modelo:Sfn é dicir, $\ker (f)=N$.

En xeral, un homomorfismo de grupo, $f:G\to H$ envía subgrupos de $G$ a subgrupos de $H$. A maiores, a preimaxe de calquera subgrupo de $H$ é un subgrupo de $G$. Chamamos á preimaxe do grupo trivial $\{e\}$ en $H$ ao kernel do homomorfismo e denotámolo como $\ker f$. Como se ve, o kernel (ou núcleo) sempre é normal e a imaxe de $G,f(G)$, é sempre isomorfa a $G/\ker f$ (o primeiro teorema de isomorfismo).Modelo:Sfn

De feito, esta correspondencia é unha bixección entre o conxunto de todos os grupos cocientes de $G$, $G/N$, e o conxunto de todas as imaxes homomorfas de $G$ (até isomorfismo).Modelo:Sfn Tamén é doado ver que o kernel do mapa cociente, $f:G\to G/N$, é o propio $N$, polo que os subgrupos normais son precisamente os kernels dos homomorfismos con dominio $G$.Modelo:Sfn

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Grupo cociente
• Coclase

Operacións levando subgrupos a subgrupos

• Centralizador e normalizador
• Pechamento conxugado
• Corazón dun subgrupo

Propiedades do subgrupo complementarias (ou opostas) á normalidade

• Subgrupo malnormal
• Subgrupo contranormal
• Subgrupo anormal
• Subgrupo de autonormalización

Propiedades do subgrupo máis fortes que a normalidade

• Subgrupo característico
• Subgrupo totalmente característico

Propiedades do subgrupo máis febles que a normalidade

• Subgrupo subnormal
• Subgrupo ascendente
• Subgrupo descendente
• Subgrupo cuasinormal
• Subgrupo seminormal
• Conxugar subgrupo permutábel
• Subgrupo modular
• Subgrupo pronormal
• Subgrupo paranormal
• Subgrupo polinormal
• Subgrupo C-normal

Nocións relacionadas en álxebra

• Ideal (teoría dos aneis)
• Semigrupo ideal

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?

Modelo:Control de autoridades