Grupo cociente

Un grupo cociente (ou grupo factor) é un grupo matemático que se obtén ao agregar elementos semellantes dun grupo maior mediante unha relación de equivalencia que preserva parte da estrutura do grupo (o resto da estrutura é "factorizada"). Por exemplo, o grupo cíclico de adición módulo n pódese obter a partir do grupo de enteiros baixo adición identificando elementos que difiren por un múltiplo de $n$ e definir unha estrutura de grupo que opera en cada unha destas clases (coñecida como clase de congruencia) como unha única entidade. Forma parte do campo matemático coñecido como teoría de grupos.

Para unha relación de equivalencia nun grupo, a clase de equivalencia do elemento identidade é sempre un subgrupo normal do grupo orixinal, e as outras clases de equivalencia son precisamente as coclases dese subgrupo normal. O cociente resultante escríbese Modelo:Tmath onde $G$ é o grupo orixinal e $N$ é o subgrupo normal. Isto lese como Modelo:Tmath, onde $\text{mod}$ é a abreviatura de módulo. A notación Modelo:Tmath debe interpretarse con cautela, xa que algúns autores a utilizan con certos matices.

Gran parte da importancia dos grupos cocientes derívase da súa relación cos homomorfismos. O primeiro teorema de isomorfismo afirma que a imaxe de calquera grupo G baixo un homomorfismo é sempre isomorfa a un cociente de $G$. En concreto, a imaxe de $G$ baixo un homomorfismo $\phi :G\to H$ é isomorfo a $G/\ker (\phi )$ onde $\ker (\phi )$ denota o kernel de Modelo:Tmath.

Definición

Conceptos previos

Dado un grupo $G$ e un subgrupo $H$, e un elemento fixo $a\in G$, pódese considerar a coclase pola esquerda correspondente: ⁠ Modelo:Tmath.

As coclases son unha clase natural de subconxuntos dun grupo; por exemplo, considere o grupo abeliano G de enteiros, coa operación definida pola suma habitual, e o subgrupo $H$ de enteiros pares. Daquela hai exactamente dúas clases: Modelo:Tmath, que son os enteiros pares, e Modelo:Tmath, que son os enteiros impares (aquí estamos a usar a notación de suma para a operación binaria en lugar da notación multiplicativa).

Para un subgrupo Modelo:Tmath, é desexable definir unha operación de grupo compatible no conxunto de todas as coclases posibles ⁠ Modelo:Tmath. Isto é posible exactamente cando $H$ é un subgrupo normal. Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ é normal se e só se se cumpre a igualdade de coclases $aN=Na$ para todo Modelo:Tmath. Un subgrupo normal de $G$ denótase Modelo:Tmath.

Definición

Sexa $N$ un subgrupo normal dun grupo Modelo:Tmath. Definimos o conxunto $G/N$ como o conxunto de todas as coclases esquerdas de $N$ en Modelo:Tmath. É dicir Modelo:Tmath.

Dado que o elemento neutro Modelo:Tmath, Modelo:Tmath. Definimos unha operación binaria no conxunto de coclases, Modelo:Tmath, como segue. Para cada $aN$ e $bN$ en Modelo:Tmath, o produto de $aN$ e Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, é Modelo:Tmath. Isto só funciona porque $(ab)N$ non depende da escolla dos representantes, $a$ e Modelo:Tmath, de cada coclase esquerda, $aN$ e Modelo:Tmath. Para demostralo, supoña que $xN=aN$ e $yN=bN$ para algúns Modelo:Tmath. Daquela

$(ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.$

Isto é debido a que Modelo:Tmath é un subgrupo normal. Aínda fica por demostrar que esta condición non só é suficiente senón necesaria para definir a operación en Modelo:Tmath.

Para demostrar que é necesaria, considérase que para un subgrupo $N$ de Modelo:Tmath temos que a operación está ben definida. É dicir, para todos os $xN=aN$ e Modelo:Tmath, con Modelo:Tmath.

Sexa $n\in N$ e Modelo:Tmath. Posto que Modelo:Tmath temosModelo:Tmath

Agora, $gN=(ng)N\iff N=(g^{-1}ng)N\iff g^{-1}ng\in N,\mathrm{\forall }n\in N$, Modelo:Tmath

Daí que $N$ é un subgrupo normal de Modelo:Tmath.

Tamén se pode comprobar que esta operación en $G/N$ é sempre asociativa, $G/N$ ten elemento identidade Modelo:Tmath e a inversa do elemento $aN$ sempre pode ser representado por Modelo:Tmath. Polo tanto, o conxunto $G/N$ xunto coa operación definida por $(aN)(bN)=(ab)N$ forma un grupo, o grupo cociente de $G$ por Modelo:Tmath.

Debido a ser Modelo:Tmath normal, as coclases esquerda e dereita de $N$ en $G$ son iguais, e así, $G/N$ podería terse definido como o conxunto de coclases dereitas de $N$ en Modelo:Tmath.

Exemplo: adición módulo 6

Por exemplo, considere o grupo coa operación de suma para os enteiros módulo 6: Modelo:Tmath. Considere o subconxunto Modelo:Tmath, que é normal porque $G$ é abeliano. Daquela o conxunto de coclases (esquerdas) é de tamaño tres:

$G/N=\{a+N:a\in G\}=\{\{0,3\},\{1,4\},\{2,5\}\}=\{0+N,1+N,2+N\}.$

A operación binaria definida anteriormente converte este conxunto nun grupo, coñecido como grupo cociente, que neste caso é isomorfo ao grupo cíclico de orde 3.

Podemos ver que o grupo orixinal deste exemplo xa se podía estabelecer como o grupo cociente dos enteiros módulo 6, escrito como $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, por tanto neste exemplo vemos un grupo cociente doutro grupo cociente.

Exemplos

Restos da división enteira

Considere o grupo de enteiros $\mathbb{Z}$ baixo a suma. Sexa Modelo:Tmath calquera número enteiro positivo. Consideraremos o subgrupo $n\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ composto por todos os múltiplos de Modelo:Tmath. Unha vez mais $n\mathbb{Z}$ é normal en $\mathbb{Z}$ porque $\mathbb{Z}$ é abeliano. As coclases son a colección Modelo:Tmath. Un número enteiro $k$ pertence á clase Modelo:Tmath onde $r$ é o resto de dividir $k$ por Modelo:Tmath. O cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pódese pensar como o grupo de "restos" módulo Modelo:Tmath. Este é un grupo cíclico de orde Modelo:Tmath.

Raíces enteiras complexas de 1

As coclases das raíces cuartas da unidade N dentro das raíces duodécimas da unidade G. .

As raíces duodécimas da unidade, que son puntos do círculo unitario complexo, forman un grupo abeliano multiplicativo Modelo:Tmath, que se mostra na imaxe da dereita como bólas de cores co número en cada punto que dá o seu argumento complexo. Considere o seu subgrupo $N$ feito das raíces cuartas da unidade, mostradas como bólas vermellas. Este subgrupo normal divide o grupo en tres coclases, mostradas en vermello, verde e azul. Pódese comprobar que as coclases forman un grupo de tres elementos (o produto dun elemento vermello cun elemento azul é azul, o inverso dun elemento azul é verde, etc.). Así, o grupo cociente $G/N$ é o grupo de tres cores, que resulta ser o grupo cíclico con tres elementos.

Números reais módulo os enteiros

Considere o grupo de números reais $ℝ$ baixo adición e o subgrupo $\mathbb{Z}$ de enteiros. Cada coclase de $\mathbb{Z}$ en $ℝ$ é un conxunto da forma Modelo:Tmath onde $a$ é un número real. Posto que $a_1+\mathbb{Z}$ e $a_2+\mathbb{Z}$ son conxuntos idénticos cando as partes non enteiras de $a_1$ e $a_2$ son iguais, pódese impoñer a restrición $0\le a<1$ sen mudar o significado.

A suma destes grupos realízase sumando os números reais correspondentes e restando 1 se o resultado é maior ou igual a 1. O grupo cociente $ℝ/\mathbb{Z}$ é isomorfo ao grupo circular, o grupo de números complexos de valor absoluto 1 baixo multiplicación, ou en consecuencia, ao grupo de rotacións en 2D sobre a orixe, é dicir, o grupo ortogonal especial Modelo:Tmath. Un isomorfismo vén dado por $f(a+\mathbb{Z})=e^{2\pi ia}$ (ver a identidade de Euler).

Matrices de números reais

Se $G$ é o grupo de matrices reais $2\times 2$ invertibles, e $N$ é o subgrupo de matrices $2\times 2$ reais con determinante igual a 1, daquela $N$ é normal en $G$ (xa que é o kernel do homomorfismo do determinante). As coclases de $N$ son os conxuntos de matrices cun determinado determinante e, polo tanto, $G/N$ é isomorfo ao grupo multiplicativo de números reais distintos de cero. O grupo $N$ coñécese como grupo linear especial Modelo:Tmath. Podemos escribrir $G{L}_2(ℝ)/S{L}_2(ℝ).$

Se denotamos os representantes de cada coclase cunha raia superior, para os $A\in G{L}_2(ℝ)$, temos que $\bar{A}$ é a coclase $A\cdot S{L}_2(ℝ)=\{AB:B\in S{L}_2(ℝ)\}$ e podemos denotar como $\delta =det(A)$ o valor do determinante de $A$. Con esta notación, as matrices de tipo $\left(\begin{array}{cc}\delta & 0\\ 0& 1\end{array}\right),\delta \in {ℝ}^{\times }$, son os representantes únicos de cada coclase, isto é, en cada coclase os seus elementos teñen o mesmo valor de determinante igual a $\delta$, e podemos escribir $\bar{A}=\overline{\left(\begin{array}{cc}\delta & 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$.

Podemos ver que ese $\delta$ é único. Se tivesemos dous representantes diferentes: $\overline{\left(\begin{array}{cc}\delta & 0\\ 0& 1\end{array}\right)}=\overline{\left(\begin{array}{cc}{\delta }^{\prime }& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$, daquela $\overline{\left(\begin{array}{cc}\delta & 0\\ 0& 1\end{array}\right)}=\overline{\left(\begin{array}{cc}{\delta }^{\prime }& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}B$, con $det(B)=1$ e tomando determinantes en ambos os lados implica $\delta ={\delta }^{\prime }det(B)={\delta }^{\prime }$.

Con eses representantes a operación de grupo sería $\overline{\left(\begin{array}{cc}\delta & 0\\ 0& 1\end{array}\right)}\overline{\left(\begin{array}{cc}{\delta }^{\prime }& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}=\overline{\left(\begin{array}{cc}\delta {\delta }^{\prime }& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$ que é o mesmo, con outra apariencia, que a multiplicación no grupo ${ℝ}^{\times }$. Isto mostra o isomorfismo, declarado no primeiro parágrafo do exemplo, entre o grupo cociente $G{L}_2(ℝ)/S{L}_2(ℝ)$ e o grupo multiplicativo de números reais ${ℝ}^{\times }$

Propiedades

O grupo cociente $G/G$ é isomorfo ao grupo trivial (o grupo cun elemento) e $G/\left\{e\right\}$ é isomorfo a Modelo:Tmath.

A orde de Modelo:Tmath, que por definición é o número de elementos, é igual a Modelo:Tmath, o índice de $N$ en Modelo:Tmath. Se $G$ é finito, o índice tamén é igual á orde de $G$ dividido pola orde de Modelo:Tmath. O conxunto $G/N$ pode ser finito, aínda que ambos os dous $G$ e $N$ sexan infinitos (por exemplo, Modelo:Tmath ).

Hai un homomorfismo de grupos sobrexectivo "natural" Modelo:Tmath enviando cada elemento $g$ de $G$ á coclase de $N$ a que pertence $g$, é dicir: Modelo:Tmath. O mapa $\pi$ ás veces chámase a proxección canónica de $G$ sobre Modelo:Tmath. O seu kernel é Modelo:Tmath.

Hai unha correspondencia bixectiva entre os subgrupos de $G$ que conteñen $N$ e os subgrupos de Modelo:Tmath. Se $H$ é un subgrupo de $G$ que contén Modelo:Tmath, daquela o subgrupo correspondente de $G/N$ é Modelo:Tmath. Esta correspondencia cúmprese para os subgrupos normais de $G$ e tamén $G/N$, e formalízase no teorema da correspondencia.

Varias propiedades importantes dos grupos cocientes están recollidas no teorema fundamental dos homomorfismos e nos teoremas do isomorfismo.

Se $G$ é abeliano, nilpotente, solúbel, cíclico ou xerado finitamente, logo tamén o é Modelo:Tmath.

Se $H$ é un subgrupo nun grupo finito Modelo:Tmath e a orde de $H$ é a metade da orde de Modelo:Tmath entón $H$ está garantido que é un subgrupo normal, polo tanto $G/H$ existe e é isomorfo a Modelo:Tmath. Este resultado tamén se pode indicar como "calquera subgrupo do índice 2 é normal", e nesta forma aplícase tamén a grupos infinitos. Ademais, se $p$ é o número primo máis pequeno que divide a orde dun grupo finito Modelo:Tmath, daquela se $G/H$ ten orde Modelo:Tmath, temos que $H$ debe ser un subgrupo normal de Modelo:Tmath .

Dado $G$ e un subgrupo normal Modelo:Tmath, entón $G$ é unha extensión de grupo de $G/N$ por Modelo:Tmath. Poderíase preguntar se esta extensión é trivial ou subdividida (split); noutras palabras, pódese preguntar se $G$ é un produto directo ou un produto semidirecto de $N$ e Modelo:Tmath. Este é un caso especial do problema da extensión. Un exemplo onde a extensión non está subdividida é o seguinte: Sexa Modelo:Tmath e Modelo:Tmath, que é isomorfo a Modelo:Tmath. Entón $G/N$ tamén é isomorfo a Modelo:Tmath. Pero ${\mathrm{Z}}_2$ só ten o automorfismo trivial, polo que o único produto semidirecto de $N$ e $G/N$é o produto directo. Como ${\mathrm{Z}}_4$ é diferente de Modelo:Tmath, chegamos á conclusión de que $G$ non é un produto semidirecto de $N$ e Modelo:Tmath.

Cocientes dos grupos de Lie

Se $G$ é un grupo de Lie e $N$ é un subgrupo de Lie normal e pechado (no sentido topolóxico e non alxébrico da palabra) de Modelo:Tmath, daquela o cociente $G/N$ tamén é un grupo de Lie. Neste caso, o grupo orixinal $G$ ten a estrutura dun fibrado (especificamente, un fibrado N-principal), con espazo base $G/N$ e fibra Modelo:Tmath. A dimensión de $G/N$ é igual a Modelo:Tmath.

Teña en conta que a condición de que $N$ sexa pechado é necesaria. En efecto, se $N$ non é pechado, entón o espazo cociente non é un espazo T1 (xa que hai unha coclase no cociente que non se pode separar da identidade por un conxunto aberto), e polo tanto non é un espazo de Hausdorff.

Para un subgrupo de Lie non normal Modelo:Tmath, o espazo $G/N$ de coclases pola esquerda non é un grupo, senón simplemente unha variedade diferenciable na que actúa $G$. O resultado coñécese como espazo homoxéneo.

Véxase tamén

Bibliografia

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Subgrupo normal
• Coclase
• Extensión de grupo
• Categoría cociente
• Secuencia exacta

Ligazóns externas

• Brilliant Math & Science Wiki: grupo cociente.
• Mathematics LibreTexts: grupo cociente