Homomorfismo de grupos

En matemáticas, dados dous grupos, (G,∗) e (H, ·), un homomorfismo de grupos de (G,∗) a (H, ·) é unha función h: G → H tal que para todos os u e v en G cumpre

h (u * v) = h (u) \cdot h (v)

onde a operación de grupo no lado esquerdo da ecuación é a de G e a operación do lado dereito a de H.

Desta propiedade pódese deducir que h mapea o elemento neutro e_G de G co elemento neotro e_H de H,

h (e_{G}) = e_{H}

e tamén mapea inversos a inversos no sentido de que

h (u^{- 1}) = h (u)^{- 1} .

Por iso pódese dicir que a h "é compatíbel coa estrutura do grupo".

Nas áreas das matemáticas onde se consideran grupos dotados de estrutura adicional, un homomorfismo ás veces significa un mapa que respecta non só a estrutura do grupo (como anteriormente) senón tamén a estrutura extra. Por exemplo, un homomorfismo de grupos topolóxicos adoita ser necesario que sexa continuo.

Tipos

Monomorfismo Modelo:Anchor: homomorfismo de grupos que é unha función inxectiva (ou, un a un).
Epimorfismo: un homomorfismo de grupos que é sobrexectivo (ou, onto); é dicir, chega a todos os puntos do codominio.
Isomorfismo: homomorfismo de grupos que é bixectivo; é dicir, inxectivo e sobrexectivo. O seu inverso tamén é un homomorfismo de grupos. Neste caso, os grupos G e H chámanse isomorfos; difiren só na notación dos seus elementos (agás o elemento de identidade) e son idénticos para todos os efectos prácticos. i.e. reetiquetamos todos os elementos agás a identidade.
Endomorfismo: un homomorfismo de grupos, h: G → G; o dominio e o codominio son iguais. Tamén se chama endomorfismo de G.
Automorfismo: un endomorfismo de grupos que é bixectivo, e polo tanto un isomorfismo. O conxunto de todos os automorfismos dun grupo G, coa composición de funcións como operación, forma por si mesmo un grupo, o grupo de automorfismos de G desígnase por Aut(G). Como exemplo, o grupo de automorfismos de (Z, +) contén só dous elementos, a transformación da identidade e a multiplicación por −1; é isomorfo a (Z/2Z, +).

Imaxe e kernel

Modelo:Artigo principal Definimos que o kernel de h é o conxunto de elementos en G que están mapeados coa identidade en H

\ker (h) : = {u \in G : h (u) = e_{H}} .

e a imaxe de h é

im (h) : = h (G) \equiv {h (u) : u \in G} .

O kernel e a imaxe dun homomorfismo poden interpretarse como unha medida do preto que está de ser un isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imaxe dun homomorfismo de grupo, h(G) é isomorfa ao grupo cociente G/ker h.

O kernel de h é un subgrupo normal de G. Supoñemos que $u \in \ker (h)$ e mostramos que $g^{- 1} \circ u \circ g \in \ker (h)$ para $u, g$ arbitrarios:

\begin{matrix} h (g^{- 1} \circ u \circ g) & = h (g)^{- 1} \cdot h (u) \cdot h (g) \\ = h (g)^{- 1} \cdot e_{H} \cdot h (g) \\ = h (g)^{- 1} \cdot h (g) = e_{H}, \end{matrix}

A imaxe de h é un subgrupo de H.

O homomorfismo, h, é un monomorfismo de grupos; é dicir, h é inxectiva (un-a-un) se e só se Modelo:Nowrap}. A inxección dá directamente que hai un elemento único no núcleo e, pola contra, un elemento único no núcleo dá a inxección:

\begin{matrix} h (g_{1}) & = h (g_{2}) \\ \Leftrightarrow & h (g_{1}) \cdot h (g_{2})^{- 1} & = e_{H} \\ \Leftrightarrow & h (g_{1} \circ g_{2}^{- 1}) & = e_{H}, \ker (h) = {e_{G}} \\ \Rightarrow & g_{1} \circ g_{2}^{- 1} & = e_{G} \\ \Leftrightarrow & g_{1} & = g_{2} \end{matrix}

Exemplos

Considere o grupo cíclico ZModelo:Sub = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de enteiros (Z, +). O mapa h : Z → Z/3Z con h(u) = u mod 3 é un homomorfismo de grupos. É sobrexectivo e o seu núcleo está formado por todos os números enteiros que son divisíbeis por 3.

Modelo:Bulleted list

O mapa exponencial produce un homomorfismo de grupos a partir do grupo de números reais R con adición no grupo de números reais distintos de cero R* con multiplicación. O kernel é {0} e a imaxe está formada polos números reais positivos.
O mapa exponencial tamén produce un homomorfismo de grupos do grupo de números complexos C con adición no grupo de números complexos distintos de cero C* con multiplicación. Este mapa é sobrexectivo e ten o kernel {2πki : k ∈ Z}, como se pode ver na fórmula de Euler. Corpos como R e C que teñen homomorfismos do seu grupo aditivo ao seu grupo multiplicativo reciben o nome de corpos exponenciais.
A función $Φ : (ℕ, +) \to (ℝ, +)$ , definida por $Φ (x) = \sqrt[]{2} x$ é un homomorfismo.
Considere os dous grupos $(ℝ^{+}, *)$ e $(ℝ, +)$ , representados respectivamente por $G$ e $H$ , onde $ℝ^{+}$ son os números reais positivos. Entón, a función $f : G \to H$ definida pola función logaritmo é un homomorfismo.

Categoría de grupos

Se Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap son homomorfismos de grupos, entón tamén o é Modelo:Nowrap. Isto mostra que a clase de todos os grupos, xunto cos homomorfismos de grupos como morfismos, forman unha categoría (especificamente a categoría de grupos).

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades

Homomorfismo de grupos

Índice

Tipos

Imaxe e kernel

Exemplos

Categoría de grupos

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Homomorfismo de grupos

Tipos

Imaxe e kernel

Exemplos

Categoría de grupos

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura