Centralizador e normalizador

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, o centralizador (tamén chamado conmutador) dun subconxunto S nun grupo G é o conxunto ${\mathrm{C}}_G(S)$ de elementos de G que conmutan con cada elemento de S, ou equivalentemente, tal que a conxugación por $g$ deixa fixo cada elemento de S. O normalizador de S en G é o conxunto de elementos ${\mathrm{N}}_G(S)$ de G que satisfán a condición máis feble de deixar o conxunto $S\subseteq G$ fixo baixo a conxugación. O centralizador e o normalizador de S son subgrupos de G. Moitas técnicas da teoría de grupos baséanse no estudo dos centralizadores e normalizadores de subconxuntos adecuados S .

Na teoría de aneis, o centralizador dun subconxunto dun anel defínese en relación á operación de semigrupo (multiplicación) do anel. O centralizador dun subconxunto dun anel R é un subanel de R. Este artigo tamén trata sobre centralizadores e normalizadores nunha álxebra de Lie.

O idealizador nun semigrupo ou anel é outra construción que vai na mesma liña que o centralizador e normalizador.

Definicións

Grupo e semigrupo

O centralizador dun subconxunto S do grupo (ou semigrupo) G defínese como

${\mathrm{C}}_G(S)=\{g\in G\mid gs=sg\text{ para todo }s\in S\}=\{g\in G\mid gs{g}^{-1}=s\text{ para todo }s\in S\},$

onde só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se non hai ambigüidade sobre o grupo en cuestión, o G pódese suprimir da notación. Cando S = { a } é un conxunto unitario, escribimos C_G (a) en lugar de C_G ({a}). Outra notación menos común para o centralizador é Z(a), que é paralela á notación para o centro. Con esta última notación, hai que ter coidado de evitar a confusión entre o centro dun grupo G, Z(G), e o centralizador dun elemento g en G, Z(g).

O normalizador de S no grupo (ou semigrupo) G defínese como

${\mathrm{N}}_G(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}=\{g\in G\mid gS{g}^{-1}=S\},$

onde de novo só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se o conxunto $S$ é un subgrupo de $G$, entón o normalizador $N_G(S)$ é o subgrupo máis grande $G^{\prime }\subseteq G$ onde $S$ é un subgrupo normal de $G^{\prime }$. As definicións de centralizador e normalizador son similares mais non idénticas. Se g está no centralizador de S e s está en S, entón debe ser que Modelo:Nowrap, mais se g está no normalizador, entón Modelo:Nowrap para algún t en S, con t posibelmente diferente de s. É dicir, os elementos do centralizador de S deben conmutar punto por punto con S, pero os elementos do normalizador de S só precisan conmutar con S como un conxunto. As mesmas convencións de notación mencionadas anteriormente para os centralizadores tamén se aplican aos normalizadores. Non se debe confundir o normalizador co pechamento normal .

Claramente $C_G(S)\subseteq N_G(S)$ e ambos os dous son subgrupos de $G$.

Anel, álxebra sobre un corpo, anel de Lie e álxebra de Lie

Se R é un anel ou unha álxebra sobre un corpo, e S é un subconxunto de R, entón o centralizador de S é exactamente o mesmo que se definiu para os grupos, con R no lugar de G.

Se $𝔏$ é unha álxebra de Lie (ou un anel de Lie) con produto de Lie [x, y], dqquela o centralizador dun subconxunto S de $𝔏$ defínese como Modelo:Sfn

${\mathrm{C}}_{𝔏}(S)=\{x\in 𝔏\mid [x,s]=0\text{ para todo }s\in S\}.$

A definición de centralizadores para aneis de Lie está ligada á definición de aneis do seguinte xeito. Se R é un anel asociativo, entón R pode dar o produto de corchetes de Lie Modelo:Nowrap. Por suposto, entón Modelo:Nowrap se e só se Modelo:Nowrap. Se denotamos o conxunto R co produto corchete como L_R, entón claramente o centralizador do anel de S en R é igual ao centralizador do anel de Lie de S en L_R.

O normalizador dun subconxunto S dunha álxebra de Lie (ou anel de Lie) $𝔏$ está dado por Modelo:Sfn

${\mathrm{N}}_{𝔏}(S)=\{x\in 𝔏\mid [x,s]\in S\text{ for all }s\in S\}.$

Aínda que este é o uso estándar do termo "normalizador" na álxebra de Lie, esta construción é en realidade o idealizador do conxunto S en $𝔏$. Se S é un subgrupo aditivo de $𝔏$, entón ${\mathrm{N}}_{𝔏}(S)$ é o subanel de Lie máis grande (ou subálxebra de Lie, segundo o caso) no que S é un ideal de Lie.Modelo:Sfn

Exemplo

Considere o grupo

$G=S_3=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}$ (o grupo simétrico de permutacións de 3 elementos).

Tome un subconxunto H do grupo G:

$H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.$

Teña en conta que [1, 2, 3] é a permutación identidade en G e mantén a orde de cada elemento e [1, 3, 2] é a permutación que fixa o primeiro elemento e troca o segundo e o terceiro elemento.

O normalizador de H en relación ao grupo G son todos os elementos de G que dan o conxunto H (potencialmente permutado) cando se aplica a operación de grupo. Traballando o exemplo para cada elemento de G:

$[1,2,3]$ cando se aplica a H => $\{[1,2,3],[1,3,2]\}=H$ ; polo tanto [1, 2, 3] está no Normalizador(H) con respecto a G.

$[1,3,2]$ cando se aplica a H => $\{[1,3,2],[1,2,3]\}=H$ ; polo tanto [1, 3, 2] está no Normalizador(H) con respecto a G.

$[2,1,3]$ cando se aplica a H => $\{[2,1,3],[3,1,2]\}\ne H$ ; polo tanto [2, 1, 3] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

$[2,3,1]$ cando se aplica a H => $\{[2,3,1],[3,2,1]\}\ne H$ ; polo tanto [2, 3, 1] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

$[3,1,2]$ cando se aplica a H => $\{[3,1,2],[2,1,3]\}\ne H$ ; polo tanto [3, 1, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

$[3,2,1]$ cando se aplica a H => $\{[3,2,1],[2,3,1]\}\ne H$ ; polo tanto [3, 2, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

Polo tanto, o Normalizador(H) en relación a G é $\{[1,2,3],[1,3,2]\}$ xa que os dous elementos do grupo conservan o conxunto H.

Un grupo considérase simple se o normalizador en relación a un subconxunto é sempre a identidade e el mesmo. Aquí, está claro que S₃ non é un grupo simple.

O centralizador do grupo G é o conxunto de elementos que deixan cada elemento de H sen cambios. Está claro que o único elemento deste tipo en S₃ é o elemento identidade [1, 2, 3].

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Idealizador.
• Teorema do duplo centralizador.

Modelo:Control de autoridades