Translación (xeometría)

Unha translación move todos os puntos dunha figura ou dun espazo na mesma cantidade nunha dirección determinada.

Na xeometría euclidiana, unha translación é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría.

Como función

Se $𝐯$ é un vector fixo, coñecido como vector de translación, e $𝐩$ é a posición inicial dalgún obxecto, a función de translación $T_{𝐯}$ será $T_{𝐯}(𝐩)=𝐩+𝐯$.

Aplicación na física clásica

Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se complementa coa rotación que dá un desprazamento angular.

Para trasladar un obxecto séguese a fórmula

$(x,y,z)\to (x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y,z+\mathrm{\Delta }z)$

onde $(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z)$ é o mesmo vector para cada punto do obxecto.

Como grupo

O conxunto de todas as translacións forma o grupo de translación $𝕋$, que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano $E(n)$. O grupo cociente de $E(n)$ por $𝕋$ é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal $O(n)$:

$E(n)/𝕋\cong O(n)$

Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.

Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.

Grupos de retículas

Modelo:Artigo principal Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación , xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo.

Representación matricial

Unha translación é unha transformación afín sen puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen sempre a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ utilizando 4 coordenadas homoxéneas como $𝐯=(v_x,v_y,v_z,1)$.

Para mover un obxecto por un vector $𝐯$, cada vector homoxéneo $𝐩$ pódese multiplicar por esta matriz de translación:

$T_{𝐯}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

E a multiplicación dará o resultado esperado:

$T_{𝐯}𝐩=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_x+v_x\\ p_y+v_y\\ p_z+v_z\\ 1\end{array}\right]=𝐩+𝐯$

A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector:

$T_{𝐯}^{-1}=T_{-𝐯}.$

Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores:

$T_{𝐯}{T}_{𝐰}=T_{𝐯+𝐰}.$

Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias).

Translación de eixes

Modelo:Artigo principal Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes.

Simetría de translación

Modelo:Artigo principal Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación.

Translacións dunha gráfica

En comparación coa gráfica Modelo:Math, a gráfica Modelo:Math trasladouse horizontalmente por Modelo:Mvar, mentres que a gráfica Modelo:Math trasladouse verticalmente por Modelo:Mvar.

Partindo da gráfica de Modelo:Mvar, unha translación horizontal significa compoñer Modelo:Mvar cunha función Modelo:Tmath, para algún número constante Modelo:Mvar, o que resulta nunha gráfica formada por puntos Modelo:Tmath. Cada Modelo:Tmath da gráfica orixinal corresponde ao punto Modelo:Tmath no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.

Igualmente temos unha translación vertical para a variábel Modelo:Mvar, coa función Modelo:Tmath.

Por exemplo, tomando a función cadrática Modelo:Tmath, cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en Modelo:Tmath, unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función Modelo:Tmath cuxo vértice está en Modelo:Tmath. Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función Modelo:Tmath con vértice en Modelo:Tmath.

Véxase tamén

Bibliografía

• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450.
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, xaneiro 1). BioMath: Transformation of Graphs.

Outros artigos

• Gráficos de ordenador 2D
• Matriz de rotación
• Matriz de transformación

Ligazóns externas

• Translation Transform en cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) en Math Is Fun
• Understanding 2D Translation e máis Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.