Coclase

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo Modelo:Mvar dun grupo Modelo:Mvar para descompoñer o conxunto subxacente de Modelo:Mvar en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados coclases (ou cosets en inglés). Hai coclases esquerdas e dereitas. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que Modelo:Mvar. A maiores, o propio Modelo:Mvar é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar é igual ao número de coclases dereitas de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar. Este valor común chámase índice de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar e normalmente denótase por Modelo:Math.

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito Modelo:Mvar, o número de elementos de cada subgrupo Modelo:Mvar de Modelo:Mvar divide o número de elementos de Modelo:Mvar. As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .

Definición

Sexa Modelo:Mvar un subgrupo do grupo Modelo:Mvar cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento Modelo:Mvar de Modelo:Mvar, as coclases esquerdas de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de Modelo:Mvar por un elemento fixo Modelo:Mvar de Modelo:Mvar (onde Modelo:Mvar é o factor esquerdo). En símbolos estas son,

g H = {g h : h un elemento de H} para g \in G

.

As coclases dereitas defínense de xeito similar, agás que o elemento Modelo:Mvar agora é un factor pola dereita, é dicir,

H g = {h g : h un elemento de H} para g \in G

.

Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.^[1]

Se a operación do grupo é aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a Modelo:Math ou Modelo:Math, respectivamente.

O símbolo G/H ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { gH : g un elemento de G } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases no caso de que H sexa un subgrupo normal de G.

Primeiro exemplo

Sexa Modelo:Mvar o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por Modelo:Math. Neste grupo, Modelo:Math e Modelo:Math. Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley:

∗	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math
Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math
Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar
Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar
Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar
Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math
Modelo:Math	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar	Modelo:Math	Modelo:Mvar	Modelo:Mvar

Sexa Modelo:Mvar o subgrupo Modelo:Math. As coclases pola esquerda (distintas) de Modelo:Mvar son:

Dado que agora todos os elementos de Modelo:Mvar apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, Modelo:Math.

As clases dereitas de Modelo:Mvar son:

Neste exemplo, menos para Modelo:Mvar, ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa Modelo:Mvar o subgrupo Modelo:Math. As coclases esquerdas de Modelo:Mvar son Modelo:Math e Modelo:Math . As coclases dereitas Modelo:Mvar son Modelo:Math e Modelo:Math. Neste caso, cada coclase esquerda de Modelo:Mvar tamén é unha coclase dereita de Modelo:Mvar.^[2]

Sexa Modelo:Mvar un subgrupo do grupo Modelo:Mvar e supoña que Modelo:Math, Modelo:Math. As seguintes sentenzas son equivalentes:^[3]

Propiedades

Todo elemento de Modelo:Math pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo Modelo:Math,^[1] e Modelo:Math é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).^[2]

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo Modelo:Mvar se Modelo:Math (ou de forma equivalente se Modelo:Math pertence a Modelo:Mvar). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de Modelo:Mvar.^[4] Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un representante de clase é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se Modelo:Math é un grupo abeliano, entón Modelo:Math para todo subgrupo Modelo:Math de Modelo:Math e cada elemento Modelo:Mvar de Modelo:Math. Para grupos en xeral, dado un elemento Modelo:Mvar e un subgrupo Modelo:Math dun grupo Modelo:Math, a coclase dereita de Modelo:Math con relación a Modelo:Mvar é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado Modelo:Math con relación a Modelo:Mvar, é dicir, Modelo:Math.

Subgrupos normais

Un subgrupo Modelo:Math dun grupo Modelo:Math é un subgrupo normal de Modelo:Math se e só se para todos os elementos Modelo:Mvar de Modelo:Math as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, Modelo:Math. Este é o caso do subgrupo Modelo:Mvar no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de Modelo:Math en Modelo:Math forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores Modelo:Mvar/Modelo:Math.

Se Modelo:Math non é normal en Modelo:Math, entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un Modelo:Mvar en Modelo:Math tal que ningún elemento Modelo:Mvar satisfai Modelo:Math. Isto significa que a partición de Modelo:Math nas coclases esquerdas de Modelo:Math é unha partición diferente que a partición de Modelo:Math nas coclases dereitas de Modelo:Math. Isto é ilustrado polo subgrupo Modelo:Mvar no primeiro exemplo anterior. ( Algunhas clases poden coincidir. Por exemplo, se Modelo:Mvar está no centro de Modelo:Math, entón Modelo:Math).

Por outra banda, se o subgrupo Modelo:Math é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente Modelo:Mvar/Modelo:Math coa operación Modelo:Math definida por Modelo:Math. Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

Índice dun subgrupo

Cada clase esquerda ou dereita de Modelo:Math ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun Modelo:Math infinito) que o propio Modelo:Math. A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como índice de Modelo:Math en G, escrito como Modelo:Math. O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que Modelo:Math e Modelo:Math sexan finitos: $| G | = [G : H] | H | .$ Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

Máis exemplos

Números enteiros

Sexa Modelo:Math o grupo aditivo dos enteiros, Modelo:Math e Modelo:Math o subgrupo Modelo:Math. Daquela as coclases de Modelo:Math en Modelo:Math son os tres conxuntos Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math, onde Modelo:Math. Estes tres conxuntos particionan o conxunto Modelo:Math, polo que non hai outras clases dereitas de Modelo:Mvar. Debido á conmutividade da suma Modelo:Math e Modelo:Math. É dicir, cada coclase esquerda de Modelo:Mvar tamén é unha coclase dereita, polo que Modelo:Mvar é un subgrupo normal.^[5] (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal^[6]).

Vectores

Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial Modelo:Math, un subespazo Modelo:Math e un vector fixo Modelo:Math en Modelo:Math, os conxuntos

{𝐱 \in V ∣ 𝐱 = 𝐚 + 𝐰, 𝐰 \in W}

chámanse subespazos afíns e son coclases (tanto pola esquerda como pola dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano Modelo:Math. Se Modelo:Mvar é unha liña que pasa pola orixe Modelo:Mvar, entón Modelo:Mvar é un subgrupo do grupo abeliano Modelo:Math. Se Modelo:Mvar está en Modelo:Math, entón o conxunto Modelo:Math é unha recta Modelo:Math paralela a Modelo:Mvar e que pasa por Modelo:Mvar.^[7]

Matrices

Sexa Modelo:Mvar o grupo multiplicativo de matrices, ^[8]

G = {[\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}] : a, b \in ℝ, a \neq 0},

e o subgrupo Modelo:Mvar de Modelo:Mvar,

H = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix}] : c \in ℝ} .

Para un elemento fixo de Modelo:Mvar considere a coclase esquerda

\begin{matrix} [\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}] H = & {[\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix}] : c \in ℝ} \\ = & {[\begin{matrix} a & 0 \\ b + c & 1 \end{matrix}] : c \in ℝ} \\ = & {[\begin{matrix} a & 0 \\ d & 1 \end{matrix}] : d \in ℝ} . \end{matrix}

É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de Modelo:Mvar que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo Modelo:Mvar é normal en Modelo:Mvar, mais o subgrupo

T = {[\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] : a \in ℝ - {0}}

non é normal en Modelo:Mvar.

Como órbitas dunha acción de grupo

Un subgrupo Modelo:Mvar dun grupo Modelo:Mvar pódese usar para definir unha acción de Modelo:Mvar sobre Modelo:Mvar de dúas formas naturais. Unha acción pola dereita, Modelo:Math dada por Modelo:Math ou unha acción pola esquerda, Modelo:Math dada por Modelo:Math . A órbita de Modelo:Mvar baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda Modelo:Mvar, mentres que a órbita baixo a acción pola esquerda é a coclase dereita Modelo:Mvar.^[9]

Coclases duplas

Dados dous subgrupos, Modelo:Math e Modelo:Math (que non precisan ser distintos) dun grupo Modelo:Math, as coclases duplas de Modelo:Math e Modelo:Math en Modelo:Math son os conxuntos da forma Modelo:Math. Estas son as coclases esquerdas de Modelo:Math e as dereitas de Modelo:Math cando Modelo:Math ou Modelo:Math respectivamente.^[10]

Dúas coclases duplas Modelo:Math e Modelo:Math son disxuntas ou idénticas. ^[11] O conxunto de todas as coclases duplas para Modelo:Mvar e Modelo:Mvar fixos forman unha partición de Modelo:Mvar.

Unha coclase dupla Modelo:Math contén as coclases dereitas completas de Modelo:Mvar (en Modelo:Mvar) da forma Modelo:Math, con Modelo:Mvar un elemento de Modelo:Mvar e as coclases esquerdas completas de Modelo:Mvar (en Modelo:Mvar) da forma Modelo:Math, con Modelo:Mvar en Modelo:Mvar.^[11]

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Modelo:Commonscat

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Control de autoridades

[Rotman2006-1] 1,0 ^1,1 Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[Dean-2] 2,0 ^2,1 Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[3] Modelo:Cita web

[4] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[5] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[Fraleigh-6] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[7] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[8] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[Jacobson-9] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[10] Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[Hall-11] 11,0 ^11,1 Modelo:Cita Harvard sen parénteses

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]