Semigrupo

En álxebra abstracta, un semigrupo é unha estrutura alxébrica constituída por un conxunto provisto dunha lei de composición interna asociativa. Dise que é conmutativo se a súa lei é tamén conmutativa.

En relación cos axiomas de grupo fáltalle a existencia de elemento identidade e por tanto tamén o axioma de inverso.

Un monoide é unha estrutura alxébrica intermedia entre semigrupos e grupos, é un semigrupo que a maiores ten un elemento identidade, polo que obedece a todos menos un dos axiomas dun grupo: a existencia de inversos non se require nun monoide.

Definición

Un semigrupo é un magma asociativo. Noutras palabras, é unha par $(S,\star )$ composto por un conxunto Modelo:Mvar e unha operación $\star$ que verifica a propiedade de asociatividade: $(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$ para todos Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar

Exemplos

• O conxunto de números naturais distintos de cero provistos de suma é un semigrupo. Por non teren o cero non teñen elemento identidade e por non teren os negativos non teñen inversos.
• Todo monoide é un semigrupo.
• Se $(A,+,*)$ é un rng (ou pseudoanel), entón $(A,*)$ é un medio grupo.
• Calquera conxunto ordenado no que calquera par de elementos teña unha límite inferior, provisto da lei que lles asocia este límite inferior, constitúe un semigrupo conmutativo.
• Para calquera semigrupo $(S,*)$, o conxunto de partes de Modelo:Math é tamén un semigrupo para a operación definida por $A\cdot B=\{a*b\mid a\in A,b\in B\}.$

Conceptos esenciais

Elementos neutro e cero

Un elemento identidade pola esquerda dun semigrupo S (ou máis xeralmente dun magma), é un elemento e tal que para todos os x en S, Modelo:Nowrap. Do mesmo xeito, un elemento identidade pola dereita é un elemento f tal que para todas os x en S, Modelo:Nowrap. Un semigrupo pode ter un ou máis elementos identidade pola esquerda mais ningún pola dereita, e viceversa.

Cando Modelo:Mvar ten un elemento neutro, dicimos que é un monoide.

Un semigrupo S pode mergullarse nun monoide que se forma agregando a S un elemento Modelo:Nowrap e definindo Modelo:Nowrap para todos os Modelo:Nowrap.Modelo:SfnModelo:Sfn A notación S¹ denota un monoide obtido de S xunto cunha identidade se é necesario (Modelo:Nowrap para un monoide).Modelo:Sfn

Do mesmo xeito, cada magma ten como máximo un elemento absorbente, que na teoría de semigrupos chámase cero. De xeito análogo á construción anterior, para cada semigrupo S pódese definir S⁰, un semigrupo con 0 que incorpora a S.

Morfismo de semigrupos

Sexan $(S,\cdot )$ E $(T,\star )$ dous semigrupos. Unha aplicación $f:S\to T$ é un morfismo de semigrupos se $f(s\cdot t)=f(s)\star f(t)$ para tódolos $s,t\in S$. Por exemplo, a aplicación $f:n\mapsto 2^n$ é un morfismo do semigrupo dos enteiros naturais provistos de suma ao semigrupo de potencias enteiras de 2 provistos de multiplicación.

Dous semigrupos S e T dise que son isomorfos se existe un homomorfismo de semigrupo bixectivo Modelo:Nowrap. Os semigrupos isomorfos teñen a mesma estrutura.

Ideais

A operación do semigrupo induce unha operación na colección dos seus subconxuntos: dados os subconxuntos A e B dun semigrupo S, o seu produto Modelo:Nowrap, escrito habitualmente como AB, é o conxunto Modelo:Nowrap (Esta noción defínese de forma idéntica como se define para grupos.) En termos desta operación, un subconxunto de A chámase

• un subsemigrupo se AA é un subconxunto de A,
• un ideal pola dereita se AS é un subconxunto de A, e
• un ideal pola esquerda se SA é un subconxunto de A.

Se A é á vez un ideal pola esquerda e un ideal pola dereita, daquela chámase ideal (ou ideal bilateral).

Se S é un semigrupo, entón a intersección de calquera colección de subsemigrupos de S tamén é un subsemigrupo de S. Polo tanto, os subsemigrupos de S forman unha reticula completa.

Un exemplo de semigrupo sen ideal mínimo é o conxunto de enteiros positivos baixo adición. O ideal mínimo dun semigrupo conmutativo, cando existe, é un grupo.

As relacións de Green, un conxunto de cinco relacións de equivalencia que caracterizan os elementos en función dos ideais principais que xeran, son ferramentas importantes para analizar os ideais dun semigrupo e as nocións relacionadas de estrutura.

O subconxunto coa propiedade que cada elemento conmuta con calquera outro elemento do semigrupo chámase centro do semigrupo. O centro dun semigrupo é un subsemigrupo.

Cociente

As seguintes nocións introduce a idea de que un semigrupo está contido noutro.

Un semigrupo T é un cociente dun semigrupo S se hai un morfismo de semigrupo surxectivo de S a T. Por exemplo, Modelo:Nowrap é un cociente de Modelo:Nowrap, utilizando o morfismo consistente en tomar o resto módulo 2 dun número enteiro.

Un semigrupo T divide un semigrupo S, denotado Modelo:Nowrap se T é un cociente dun subsemigrupo S' '. En particular, os subsemigrupos de S dividen a T, aínda que non é necesariamente o caso de que haxa un cociente de S.

Ambas as dúas relacións son transitivas.

Tipos de semigrupos

• Un monoide é un semigrupo cun elemento identidade.
• Un grupo é un monoide no que cada elemento ten un elemento inverso.
• Un subsemigrupo é un subconxunto dun semigrupo que está pechado baixo a operación de semigrupo.
• Un semigrupo cancelativo é aquel que ten a propiedade de cancelación:Modelo:Sfn Modelo:Nowrap implica Modelo:Nowrap e de xeito similar para Modelo:Nowrap. Todo grupo é un semigrupo cancelativo, e todo semigrupo cancelativo finito é un grupo.
• Unha semigrupo idempotente é un semigrupo cuxa operación é idempotente.
• Unha semireticula é un semigrupo cuxa operación é idempotente e conmutativa.
• Os semigrupos 0-simple.
• Os Semigrupos de transformación: calquera semigrupo finito S pode representarse mediante transformacións dun conxunto (estado) Q de como máximo Modelo:Nowrap estados. Cada elemento x de S mapea Q a si mesmo Modelo:Nowrap e a secuencia xy defínese por Modelo:Nowrap para cada q en Q. A secuenciación é claramente unha operación asociativa, aquí equivalente a unha composición de funcións. Esta representación é básica para calquera autómata ou máquina de estados finitos (FSM).
• O semigrupo bicíclico é de feito un monoide, que se pode describir como o semigrupo libre con dous xeradores p e q, baixo a relación Modelo:Nowrap.
• Os C₀-semigrupos.
• Semigrupos regulares. Cada elemento x ten polo menos unha y inversa que satisfaga Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap; os elementos x e y ás veces chámanse "mutuamente inversos".
• Os semigrupos inversos son ​​semigrupos regulares onde cada elemento ten exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular é inverso se e só calquera dous elementos idempotentes conmutan.
• Semigrupo afín: un semigrupo isomorfo a un subsemigrupo finitamente xerado de Z^d. Estes semigrupos teñen aplicacións á álxebra conmutativa.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Elemento neutro.
• Semigrupo compacto.
• Rng. Anel sen elemento identidade multiplicativa.

Ligazóns externas

• MathWorld semigroup.

Modelo:Control de autoridades