Subgrupo

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo Modelo:Mvar baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto Modelo:Mvar de Modelo:Mvar chámase subgrupo de Modelo:Mvar se Modelo:Mvar tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente, Modelo:Mvar é un subgrupo de Modelo:Mvar se a restrición de ∗ a Modelo:Math é unha operación de grupo en Modelo:Mvar. Isto denótase tamén como Modelo:Math, lido como "Modelo:Mvar é un subgrupo de Modelo:Mvar ".

O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.Modelo:Sfn

Un subgrupo propio dun grupo Modelo:Mvar é un subgrupo Modelo:Mvar que é un subconxunto propio de Modelo:Mvar (é dicir, Modelo:Math). Isto represéntase por Modelo:Math, lido como "Modelo:Mvar é un subgrupo propio de Modelo:Mvar". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, Modelo:Math }). Modelo:Sfn Modelo:Sfn

Comprobación de subgrupos

Temos que Modelo:Mvar é un grupo e Modelo:Mvar é un subconxunto de Modelo:Mvar e a operación de grupo de Modelo:Mvar escríbese multiplicativamente.

Daquela Modelo:Mvar é un subgrupo de Modelo:Mvar se e só se Modelo:Mvar non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, o produto Modelo:Mvar está en Modelo:Mvar. Pechado baixo inversos significa que para cada Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, o inverso Modelo:Math está en Modelo:Mvar. Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, o elemento Modelo:Math está en Modelo:Mvar.Modelo:Sfn
Cando Modelo:Mvar é finito, a proba pódese simplificar: Modelo:Mvar é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento Modelo:Mvar de Modelo:Mvar xera un subgrupo cíclico finito de Modelo:Mvar, digamos de orde Modelo:Mvar, e entón o inverso de Modelo:Mvar é Modelo:Math. Modelo:Sfn

Modelo:Mvar é o grupo $ℤ / 8 ℤ,$ que son os enteiros mod 8 mediante adición. O subgrupo Modelo:Mvar contén só o 0 e o 4, e é isomorfo a $ℤ / 2 ℤ .$ Hai catro clases de Modelo:Mvar á esquerda: Modelo:Mvar en si, Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math (escribindo con notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Entre todos dividen todo o grupo Modelo:Mvar en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice Modelo:Math é 4.

Cosets e teorema de Lagrange

Dado un subgrupo Modelo:Mvar e algún Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo Modelo:Math Como Modelo:Mvar é invertible, o mapa Modelo:Math dado por Modelo:Math é unha bixección. Alén diso, cada elemento de Modelo:Mvar está contido precisamente nun coset esquerdo de Modelo:Mvar; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia Modelo:Math se e só se Modelo:Tmath está en Modelo:Mvar. O número de clases esquerdas de Modelo:Mvar chámase índice de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar e o denotamos por Modelo:Math .

O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito Modelo:Mvar e un subgrupo Modelo:Mvar,

[G : H] = \frac{| G |}{| H |}

onde Modelo:Mvar e Modelo:Mvar denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de Modelo:Mvar (e a orde de cada elemento de Modelo:Mvar) debe ser un divisor de Modelo:Mvar.^[1] Modelo:Sfn

Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo: Modelo:Math

Se Modelo:Math para cada Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, entón dise que Modelo:Mvar é un subgrupo normal.

Exemplo: subgrupos de Z₈

Sexa Modelo:Mvar o grupo cíclico Modelo:Math cuxos elementos son

G = {0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7}

e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

Este grupo ten dous subgrupos non triviais: Modelo:Math e Modelo:Math, onde Modelo:Mvar tamén é un subgrupo de Modelo:Mvar. O grupo Modelo:Mvar é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.Modelo:Sfn

Exemplo: Subgrupos de S₄

Modelo:Math é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos. A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades. Cada grupo (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.

24 elementos

Como en todos os grupo, Modelo:Math é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).

12 elementos

O grupo alternante Modelo:Math contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de Modelo:Math. (O outro é o seu subgrupo de Klein).

Modelo:Clear

8 elementos

6 elementos

4 elementos

3 elementos

2 elementos

Cada permutación Modelo:Mvar de orde 2 xera un subgrupo Modelo:Math. Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:

Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde)
E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)

1 elemento

O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.

Outros exemplos

Os enteiros pares forman un subgrupo Modelo:Tmath do anel dos enteiros Modelo:Tmath a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
Un ideal nun anel Modelo:Mvar é un subgrupo do grupo aditivo de Modelo:Mvar.
Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Grupo (matemáticas).

Modelo:Control de autoridades

↑ Ver unha proba didáctica neste video.

[1] Ver unha proba didáctica neste video.

[1]

Subgrupo

Índice

Comprobación de subgrupos

Cosets e teorema de Lagrange

Exemplo: subgrupos de Z₈