Centro (teoría de grupos)

Táboa de Cayley para D4 que mostra os elementos do centro, {e, a2}, que conmutan con todos os outros elementos (isto pódese ver observando que todas as ocorrencias dun elemento central dado están dispostas simétricamente sobre a diagonal central ou observando que a fila e columna que comeza cun elemento central dado son transpostos entre si).

∘	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
e	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
b	b	e	a3b	a2b	ab	a3	a2	a
a	a	ab	a2	a3	e	a2b	a3b	b
a2	a2	a2b	a3	e	a	a3b	b	ab
a3	a3	a3b	e	a	a2	b	ab	a2b
ab	ab	a	b	a3b	a2b	e	a3	a2
a2b	a2b	a2	ab	b	a3b	a	e	a3
a3b	a3b	a3	a2b	ab	b	a2	a	e

En álxebra abstracta, o centro dun grupo Modelo:Math é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de Modelo:Math. Denomínase Modelo:Math, do alemán Zentrum.

Modelo:Math.

O centro é un subgrupo normal, Modelo:Math, e tamén un subgrupo característico, pero non é necesariamente totalmente característico. O grupo cociente, Modelo:Math, é isomorfo ao grupo do automorfismo interno, Modelo:Math.

Un grupo Modelo:Math é abeliano se e só se Modelo:Math. No outro extremo, dise que un grupo é sen centro se Modelo:Math é trivial; é dicir, consiste só no elemento identidade.

Os elementos do centro son elementos centrais.

Como subgrupo

O centro de G é sempre un subgrupo de Modelo:Math. En particular:

1. Modelo:Math contén o elemento neutro de Modelo:Math, porque conmuta con todos os elementos de Modelo:Math, por definición: Modelo:Math, onde Modelo:Math é o elemento neutro;
2. Se Modelo:Math e Modelo:Math están en Modelo:Math, daquela tamén está Modelo:Math, pola asociativa: Modelo:Math para todo Modelo:Math; i.e., Modelo:Math é pechado;
3. Se Modelo:Math está en Modelo:Math, daquela tamén está Modelo:Math pois, para todo Modelo:Math en Modelo:Math, Modelo:Math conmuta con Modelo:Math: Modelo:Math.

A maiores, o centro de Modelo:Math é sempre un subgrupo abeliano e normal de Modelo:Math. Dado que todos os elementos de Modelo:Math se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo Modelo:Math pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe Modelo:Math conmutan coa imaxe Modelo:Math, mais non precisan conmutar con todo Modelo:Math a non ser que Modelo:Math sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro $G\to Z(G)$ non é un functor entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

Clases de conxugación e centralizadores

Por definición, un elemento é central sempre que a súa clase de conxugación contén só o propio elemento; é dicir Modelo:Math.

O centro é a intersección de todos os centralizadores de elementos de Modelo:Math:

$Z(G)=\bigcap _{g\in G}{Z}_G(g).$

Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

Conxugación

Considere o mapa Modelo:Math, dende Modelo:Math ata o grupo de automorfismos de Modelo:Math definido por Modelo:Math, onde Modelo:Math é o automorfismo de Modelo:Math definido por

Modelo:Math.

A función, Modelo:Math é un homomorfismo de grupos, e o seu kernel é precisamente o centro de Modelo:Math, e a súa imaxe chámase grupo de automorfismo interno de Modelo:Math, denotado Modelo:Math. Polo primeiro teorema do isomorfismo obtemos:

Modelo:Math.

O cokernel deste mapa é o grupo Modelo:Math de automorfismos externos, e estes forman a secuencia exacta

Modelo:Math.

Exemplos

• O centro dun grupo abeliano, Modelo:Math, é todo Modelo:Math.
• O centro do grupo de Heisenberg, , Modelo:Math, que son as matrices de forma:$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, é o conxunto de matrices da forma: $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& z\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.
• O centro dun grupo non abeliano simple é trivial.
• O centro do grupo diédrico, Modelo:Math, é trivial para Modelo:Math impar. Para Modelo:Math par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do polígono.
• O centro do grupo de cuaternións, Modelo:Math, é Modelo:Math.
• O centro do grupo simétrico, Modelo:Math, é trivial para Modelo:Math.
• O centro do grupo linear xeral sobre un corpo Modelo:Math, Modelo:Math, é a colección de matrices diagonais, Modelo:Math}.
• O centro do grupo ortogonal, Modelo:Math é Modelo:Math.
• O centro do grupo ortogonal especial, Modelo:Math é o grupo completo cando Modelo:Math, e Modelo:Math cando n é par, e trivial cando n é impar.
• O centro do grupo unitario, $U(n)$ é $\{e^{i\theta }\cdot I_n\mid \theta \in [0,2\pi )\}$.
• Se o grupo cociente Modelo:Math é cíclico, Modelo:Math é abeliano (e por tanto Modelo:Math, logo Modelo:Math é trivial).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Centro (teoría de aneis).
• Subgrupo normal.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades