Mergullo (matemáticas)

En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.

Cando algún obxecto $X$ se di que está mergullado noutro obxecto $Y$ , o mergullo vén dado por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura $f : X \to Y$ . O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal $X$ e $Y$ son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.

O feito de que un mapa $f : X \to Y$ é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" $f : X ↪ Y .$ . ^[1] (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as inxeccións canónicas (función inclusión).

Dados $X$ e $Y$ , poden darse varios mergullos diferentes de $X$ en $Y$ . En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio $X$ coa súa imaxe $f (X)$ contida en $Y$ , así que $X \subseteq Y$ .

Topoloxía e xeometría

Topoloxía xeral

En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe.^[2] Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo $f : X \to Y$ entre espazos topolóxicos $X$ e $Y$ é un mergullo topolóxico se $f$ produce un homeomorfismo entre $X$ e $f (X)$ (onde $f (X)$ leva a topoloxía relativa herdada de $Y$ ). Intuitivamente logo, o mergullo $f : X \to Y$ permítenos tratar $X$ como subespazo de $Y$ . Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe $f (X)$ non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado $Y$ .

Para un espazo determinado $Y$ , a existencia dun mergulo $X \to Y$ é unha invariante topolóxica de $X$ . Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

Definicións relacionadas

Se o dominio dunha función $f : X \to Y$ é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función Modelo:Visible anchor se existe algunha veciñanza $U$ deste punto tal que a restrición $f |_{U} : U \to Y$ é inxectiva. Chámase Modelo:Visible anchor se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un Modelo:Visible anchor é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva $f : X \to Y$ é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio $X .$

Topoloxía diferencial

En topoloxía diferencial: Sexan $M$ e $N$ variedades suaves e $f : M \to N$ un mapa suave. Daquela $f$ chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). ^[3]

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto $x \in M$ hai unha veciñanza $x \in U \subset M$ tal que $f : U \to N$ é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é $N = ℝ^{n}$ . O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño $n$ para unha mergullo, en canto á dimensión $m$ de $M$ . O teorema do mergullo de Whitney ^[4] afirma que $n = 2 m$ é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real $ℝ P^{m}$ de dimensión $m$ , onde $m$ é unha potencia de dous, esixe que sexa $n = 2 m$ para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, $ℝ P^{2}$ pode estar inmerso en $ℝ^{3}$ como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).

Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana

Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan $(M, g)$ e $(N, h)$ variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave $f : M \to N$ que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que $g$ é igual á regresión de $h$ por $f$ , é dicir $g = f^{*} h$ . Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera $v, w \in T_{x} (M)$ temos

g (v, w) = h (d f (v), d f (w)) .

Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).^[5]

Álxebra

En xeral, para unha categoría alxébrica $C$ , un mergullo entre dúas $C$ -estruturas alxébricas $X$ e $Y$ é un $C$ -morfismo Modelo:Nowrap que é inxectivo.

Teoría de corpos

Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo $E$ nun corpo $F$ é un homomorfismo de anéis Modelo:Nowrap.

O kernel de $σ$ é un Ideal de $E$ , que non pode ser todo o corpo $E$ , por mor da condición Modelo:Nowrap. Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é $0$ , polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, $E$ é isomorfo ao subcorpo $σ (E)$ de $F$ . Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.

Álxebra universal e teoría de modelos

Se $σ$ é unha sinatura e $A, B$ son $σ$ -estruturas (tamén chamadas $σ$ -álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa $h : A \to B$ é un $σ$ -mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

$h$ é inxectivo,
para cada símbolo de $n$ argumentos $f \in σ$ e $a_{1}, \dots, a_{n} \in A^{n},$ temos $h (f^{A} (a_{1}, \dots, a_{n})) = f^{B} (h (a_{1}), \dots, h (a_{n}))$ ,
para cada símbolo de relación de $n$ argumentos $R \in σ$ e $a_{1}, \dots, a_{n} \in A^{n},$ temos $A ⊨ R (a_{1}, \dots, a_{n})$ se $B ⊨ R (h (a_{1}), \dots, h (a_{n})) .$

Aquí $A ⊨ R (a_{1}, \dots, a_{n})$ é unha notación de teoría de modelos equivalente a $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in R^{A}$ . Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

Teoría da orde e teoría do dominio

Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función $F$ entre conxuntos parcialmente ordenados $X$ e $Y$ tal que

\forall x_{1}, x_{2} \in X : x_{1} \leq x_{2} ⟺ F (x_{1}) \leq F (x_{2}) .

A inxectividade de $F$ obtense rapidamente desta definición.

Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que

\forall y \in Y : {x ∣ F (x) \leq y}

é un conxunto dirixido.

Espazos métricos

Un mapa $ϕ : X \to Y$ de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión $C > 0$ ) se

L d_{X} (x, y) \leq d_{Y} (ϕ (x), ϕ (y)) \leq C L d_{X} (x, y)

para todo $x, y \in X$ e algunha constante $L > 0$ .

Espazos normados

Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita $(X, ‖ \cdot ‖)$ é, cal é a dimensión máxima $k$ tal que o espazo de Hilbert $ℓ_{2}^{k}$ pódese mergullar linearmente en $X$ con distorsión constante?

A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.

Teoría de categorías

Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Modelo:Commonscat

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Cita libro
Embedding of manifolds on the Manifold Atlas.
Subvariedades Notas de J.C. Díaz sobre topoloxía diferencial

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Cite web
↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses.
↑ Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses.
↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680
↑ Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

[Unicode_Arrows-1] Modelo:Cite web

[2] Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[3] Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses. Modelo:Cita Harvard sen parénteses.

[4] Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680

[5] Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Mergullo (matemáticas)

Índice

Topoloxía e xeometría

Topoloxía xeral

Definicións relacionadas

Topoloxía diferencial

Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana

Álxebra

Teoría de corpos

Álxebra universal e teoría de modelos

Teoría da orde e teoría do dominio

Espazos métricos

Espazos normados

Teoría de categorías

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Mergullo (matemáticas)

Topoloxía e xeometría

Topoloxía xeral

Definicións relacionadas

Topoloxía diferencial

Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana

Álxebra

Teoría de corpos

Álxebra universal e teoría de modelos

Teoría da orde e teoría do dominio

Espazos métricos

Espazos normados

Teoría de categorías

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura