Monomorfismo

No contexto da álxebra abstracta, un monomorfismo é un homomorfismo inxectivo. Un monomorfismo de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar adoita denotarse coa notación $X\hookrightarrow Y$.

No marco máis xeral da teoría de categorías, un monomorfismo (tamén chamado morfismo mónico ou mono) é un morfismo cancelativo pola esquerda. É dicir, unha frecha Modelo:Math tal que para todos os obxectos Modelo:Math e todos os morfismos Modelo:Math,

$f\circ g_1=f\circ g_2⟹g_1=g_2.$

produto fibrado (pullback) do monomorfismo consigo mesmo

Os monomorfismos son unha xeneralización categórica das funcións inxectivas; nalgunhas categorías as nocións coinciden, mais os monomorfismos son máis xerais, como os mostrados na sección de exemplos.

No escenario dos posets, as interseccións son idempotentes: a intersección de calquera cousa consigo mesma é ela mesma. Os monomorfismos xeneralizan esta propiedade a categorías arbitrarias. Un morfismo é un monomorfismo se é idempotente con respecto aos produtos fibrados (pullbacks).

O dual nas categorías dun monomorfismo é un epimorfismo, é dicir, un monomorfismo dunha categoría C é un epimorfismo da categoría dual C^op. Cada sección é un monomorfismo e toda retracción é un epimorfismo.

Exemplos

Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é inxectiva é un monomorfismo. Na categoría de conxuntos os monomorfismos son exactamente os morfismos inxectivos. Tamén se aplica na maioría das categorías de álxebras que se producen na natureza debido á existencia dun obxecto libre nun xerador. En particular, é certo nas categorías de todos os grupos, de todos os aneis e en calquera categoría abeliana.

Non é certo en xeral, porén, que todos os monomorfismos deban ser inxectivos noutras categorías; pódese ter unha función que non sexa inxectiva e ser un monomorfismo no sentido categórico. Por exemplo, na categoría Div de grupos divisibles (abelianos) e homomorfismos de grupos entre eles hai monomorfismos que non son inxectivos: considere, por exemplo, o mapa cociente Modelo:Nowrap, onde Q son os racionais baixo adición, Z os números enteiros (tamén considerado un grupo baixo adición) e Q/Z é o grupo cociente correspondente. Este non é un mapa inxectivo, xa que, por exemplo, cada número enteiro está asignado a 0. Non obstante, é un monomorfismo nesta categoría. Isto segue da implicación Modelo:Nowrap, que agora demostraremos. Se Modelo:Nowrap, onde G é algún grupo divisible, e Modelo:Nowrap, entón Modelo:Nowrap. Agora fixamos algún Modelo:Nowrap. Sen perda de xeneralidade, podemos supoñer que Modelo:Nowrap (en caso contrario escollemos −x). Entón, sendo Modelo:Nowrap, e posto que G é un grupo divisible, existe algún Modelo:Nowrap tal que Modelo:Nowrap, polo que Modelo:Nowrap. A partir disto, e Modelo:Nowrap, despréndese que

$0\le \frac{h(x)}{h(x)+1}=h(y)<1$

Dado que Modelo:Nowrap, temos que Modelo:Nowrap, e polo tanto Modelo:Nowrap. Isto di que Modelo:Nowrap, como desexábamos.

Para pasar desa implicación ao feito de que q é un monomorfismo, subpoña que Modelo:Nowrap para algúns morfismos Modelo:Nowrap, onde G é algún grupo divisible. Entón Modelo:Nowrap, onde Modelo:Nowrap . (Posto que Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap, segue que Modelo:Nowrap). Da implicación que se acaba de demostrar, Modelo:Nowrap. Polo tanto, q é un monomorfismo, como se afirmaba.

Propiedades

• Nun topos, cada monomorfismo é un igualador, e calquera mapa que sexa tanto monomorfismo como epimorfismo é un isomorfismo.
• Todo isomorfismo é mónico.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cite book
• Modelo:Cite book
• Modelo:Springer
• Modelo:Cite journal
• Modelo:Cite book

Outros artigos

• epimorfismo

Ligazóns externas

• Modelo:Nlab
• Modelo:Nlab