Espazo topolóxico

Catro exemplos e dous anti-exemplos de topoloxías no conxunto de tres puntos {1,2,3}.
O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección.
O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

Definición

Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e E están en T.

$\varnothing \in T,E\in T$

2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.

$(O_1\in T,O_2\in T)\Rightarrow (O_1\cap O_2\in T)$

3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.

$(\mathrm{\forall }i\in I,O_i\in T)\Rightarrow ({\cup }_{i\in I}{O}_i\in T)$

Esta condición tamén pode escribir:

$\mathrm{\forall }S\subset T,{\cup }_{O\in S}O\in T$

Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un espazo topolóxico é un par $(E,\tau )$ onde $E$ é un conxunto e $\tau$ é unha topoloxía en $E$.

Exemplos

• Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por $\varnothing$ e $E$.
• Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de $E$.
• Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por $\varnothing$ e os conxuntos de $E$, cuxos complementarios son finitos.
• Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por $\varnothing$ e os conxuntos de $E$, cuxos complementarios son numerables.
• R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
• Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.

Topoloxía usual

Dise que ${ℝ}^n$está dotado coa topoloxía usual ${\tau }_u$ se $({ℝ}^n,{\tau }_u)$ é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en $({ℝ}^n,\tau )$, é dicir, pola unión de subconxuntos da forma $B(c,r)=\{(x_1,\dots ,x_n):\sum _{i=1}^n(x_i-c_i{)}^2<r^2\}$, onde $c=(c_1,\dots ,c_n)\in {ℝ}^n$ e $r$ é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en ${ℝ}^n$ pola distancia usual $d$ dada por $d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$, sendo $x=(x_1,\dots ,x_n)$ e $y=(y_1,\dots ,y_n)$ elementos de ${ℝ}^n$.