Curva

Unha curva é unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbole ou a catenaria. A recta sería o caso límite dun círculo de raio de curvatura infinito. Todas as curvas teñen dimensión igual a 1.

Definicións

Curva elemental

Un conxunto $\gamma$ de puntos do espazo chámase curva elemental se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación continua dun segmento aberto de recta.

Sendo $\gamma$ unha curva elemental e sendo $a<t<b$ o segmento aberto no que está definida a aplicación $f=(f_1,f_2,f_3)$ que determina a curva, ao sistema de igualdades

$x=f_1(t),y=f_2(t),z=f_3(t)$

chámanselle ecuacións paramétricas da curva $\gamma$.

Curva plana

Nun sistema de coordenadas cartesianas represéntanse as curvas dalgunhas raíces, así coma das súas potencias, no intervalo [0,1]. A diagonal, de ecuación y = x, é un eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Unha curva plana é aquela que reside nun só plano e pode ser aberta ou pechada. A representación gráfica dunha función real dunha variable real é unha curva plana.

Curva diferenciable

Unha curva é diferenzable cando a función $𝐱:[a,b]\subset \mathrm{I}\to {ℝ}^n$ é diferenciable. Se ademais a función anterior é inxectiva no intervalo $(a,b)$ entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é rectificable, o que significa que a súa lonxitude de arco está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva $𝐱:[0,\mathrm{\infty })\to {ℝ}^n$ : Modelo:Ecuación é continua pero non diferenciable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Curva pechada

Unha curva diferenciable es pechada cando $𝐱:[a,b]\to {ℝ}^n$ cando $𝐱(a)=𝐱(b)$. Se ademais, a función $𝐱$ é inxectiva no intervalo $(a,b)$ entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é homeomorfa ao círculo $S^1$, é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva $𝐱:[0,1]\to {ℝ}^n$ dada por: Modelo:Ecuación é unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b.

Curva suave

Chámase curva suave á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o círculo, a elipse ou a parábola.

Formalmente, dada unha curva C representada pola ecuación paramétrica:

$\{\begin{array}{c}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

nun intervalo I calquera, é suave se as súas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.