Funcións chan e teito

En matemáticas, a función chan (ou parte enteira cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real Modelo:Mvar, e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a Modelo:Mvar, denotado Modelo:Math. Do mesmo xeito, a función teito mapea Modelo:Mvar co número enteiro máis pequeno maior ou igual que Modelo:Math, denotado Modelo:Math.

Por exemplo, para o chan: Modelo:Math, Modelo:Math, e para o teito: Modelo:Math e Modelo:Math.

Exemplos

x	Piso Modelo:Math	Teito Modelo:Math	Parte fraccional Modelo:Math}
2	2	2	0
2.0001	2	3	0,0001
2.4	2	3	0,4
2.9	2	3	0,9
2.999	2	3	0,999
− 2.7	− 3	− 2	0,3
− 2	− 2	− 2	0

Notación

A parte enteira ou parte enteira dun número (Modelo:Lang no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.

A parte fracciónal denótase por Modelo:Math} para Modelo:Mvar real e definida pola fórmula

Modelo:Math

Para todo x,

Modelo:Math.

No sistema LaTeX, estes símbolos pódense especificar coas palabras \lceil, \rceil, \lfloor e \rfloor.

Definición e propiedades

Dados os números reais x e y, os enteiros m e n e o conxunto de números enteiros $\mathbb{Z}$, chan e teito poden ser definidos polas ecuacións

$\lfloor x\rfloor =\max \{m\in \mathbb{Z}\mid m\le x\},$

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge x\}.$

Equivalencias

Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito.

$\begin{array}{cccccc}\lfloor x\rfloor & =m& & \text{ se e só se }& m& \le x<m+1,\\ \lceil x\rceil & =n& & \text{ se e só se }& n-1& <x\le n,\\ \lfloor x\rfloor & =m& & \text{ se e só se }& x-1& <m\le x,\\ \lceil x\rceil & =n& & \text{ se e só se }& x& \le n<x+1.\end{array}$

Para enteiros Modelo:Mvar temos:

$\begin{array}{cc}\lfloor x+n\rfloor & =\lfloor x\rfloor +n,\\ \lceil x+n\rceil & =\lceil x\rceil +n,\\ \{x+n\}& =\{x\}.\end{array}$

Para Modelo:Mvar e Modelo:Mvar reais temos as seguintes desigualdades:

$\begin{array}{cc}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor & \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\ \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1& \le \lceil x+y\rceil \le \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{array}$

Monótonas

Tanto as funcións chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes:

$\begin{array}{cc}{x}_1\le x_2& \Rightarrow \lfloor x_1\rfloor \le \lfloor x_2\rfloor ,\\ x_1\le x_2& \Rightarrow \lceil x_1\rceil \le \lceil x_2\rceil .\end{array}$

Relacións entre as funcións

$\lfloor x\rfloor \le \lceil x\rceil ,$ con igualdade se e só se x é un número enteiro, é dicir

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{ if }x\in ̸\mathbb{Z}\end{array}$

Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo:

$\begin{array}{cc}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil & =0\\ -\lfloor x\rfloor & =\lceil -x\rceil \\ -\lceil x\rceil & =\lfloor -x\rfloor \end{array}$

e:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x\in \mathbb{Z}\\ -1& \text{if }x\in ̸\mathbb{Z},\end{array}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{if }x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

A negación do argumento complementa a parte fraccional:

$\{x\}+\{-x\}=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{if }x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

As funcións chan, teito e parte fraccional son idempotentes:

$\begin{array}{cc}\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor & =\lfloor x\rfloor ,\\ \lceil \lceil x\rceil \rceil & =\lceil x\rceil ,\\ \{\{x\}\}& =\{x\}.\end{array}$

O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna:

$\begin{array}{cc}\lfloor \lceil x\rceil \rfloor & =\lceil x\rceil ,\\ \lceil \lfloor x\rfloor \rceil & =\lfloor x\rfloor .\end{array}$

constante de Euler gamma ($\gamma$)

Existen fórmulas para a constante de Euler $\gamma$ = 0,57721 56649... que inclúen o chan e o teito, por exemplo

$\gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx.$

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k}).$

Fórmulas para números primos

A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que $\lfloor \frac{n}{m}\rfloor -\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor$ é igual a 1 se m divide n, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo n é primo se e só se

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor -\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor )=2.$

Problemas resolvidos

Ramanujan presentou estes problemas ao Journal of the Indian Mathematical Society.

Se n é un número enteiro positivo, proba que

1. $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\lfloor \frac{n+2}{6}\rfloor +\lfloor \frac{n+4}{6}\rfloor =\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n+3}{6}\rfloor ,$
2. $\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}\rfloor ,$
3. $\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2}\rfloor .$

Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores.

Problema sen resolver

O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:

Existe algún número enteiro positivo k ≥ 6 tal que

$3^k-2^k\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor >2^k-\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor -2?$

Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses k. De momento non se coñece ningún.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. Modelo:ISBN, p. 25
• ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Función paso
• Operación Módulo

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
• Modelo:MathWorld
• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades