Teorema fundamental dos homomorfismos

En álxebra abstracta, o teorema fundamental dos homomorfismos, tamén coñecido como primeiro teorema do isomorfismo, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.

Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo .

Versión para grupos

Diagrama do teorema fundamental dos homomorfismos, onde f é un homomorfismo, N é un subgrupo normal de G, e temos que e define o elemento de identidade de G.

Dados dous grupos G e H e un homomorfismo de grupos Modelo:Nowrap, sexa N un subgrupo normal en G e φ o homomorfismo sobrectivo natural Modelo:Nowrap (onde Modelo:Nowrap é o grupo cociente de G por N). Se N é un subconxunto de ker(f) entón existe un único homomorfismo Modelo:Nowrap tal que Modelo:Nowrap.

Noutras palabras, a proxección natural φ é universal entre os homomorfismos en G que mapean N no elemento identidade.

A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo:

h é inxectiva se e só se Modelo:Nowrap. Polo tanto, estabelecendo Modelo:Nowrap, obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo .

Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente".

Proba

A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se $\varphi :G\to H$ é un homomorfismo de grupos, entón:

1. $\text{im}(\varphi )$ é un subgrupo Modelo:Tmath
2. $G/\ker (\varphi )$ é isomorfo a Modelo:Tmath

Proba de 1

A operación que se conserva por $\varphi$ é a operación do grupo. Se Modelo:Tmath, entón existen elementos $a^{\prime },b^{\prime }\in G$ tal que $\varphi (a^{\prime })=a$ e Modelo:Tmath. Para estes $a$ e Modelo:Tmath temos $ab=\varphi (a^{\prime })\varphi (b^{\prime })=\varphi (a^{\prime }{b}^{\prime })\in \text{im}(\varphi )$ (posto que $\varphi$ preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en Modelo:Tmath. O elemento identidade $e\in H$ tamén está en $\text{im}(\varphi )$ porque $\varphi$ mapea o elemento de identidade de $G$ no identidade de Modelo:Tmath. Posto que cada elemento $a^{\prime }$ en $G$ ten un inverso $(a^{\prime }{)}^{-1}$ tal que $\varphi ((a^{\prime }{)}^{-1})=(\varphi (a^{\prime }){)}^{-1}$ (porque $\varphi$ preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento $\varphi (a^{\prime })=a$ en Modelo:Tmath, polo tanto, $\text{im}(\varphi )$ é un subgrupo de Modelo:Tmath.

Proba de 2

Construír un mapa $\psi :G/\ker (\varphi )\to \text{im}(\varphi )$ por Modelo:Tmath. Este mapa está ben definido, pois se Modelo:Tmath, entón $b^{-1}a\in \ker (\varphi )$ e así $\varphi (b^{-1}a)=e\Rightarrow \varphi (b^{-1})\varphi (a)=e$ que dá Modelo:Tmath. Este mapa é un isomorfismo. $\psi$ é sobrexectivo sobre $\text{im}(\varphi )$ por definición. Para mostrar a inxectividade, se $\psi (a\ker (\varphi ))=\psi (b\ker (\varphi ))$, entón Modelo:Tmath, o que implica $b^{-1}a\in \ker (\varphi )$ así que Modelo:Tmath. Finalmente,

$$\psi ((a\ker (\varphi ))(b\ker (\varphi )))=\psi (ab\ker (\varphi ))=\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=\psi (a\ker (\varphi ))\psi (b\ker (\varphi )),$$

por tanto $\psi$ preserva a operación do grupo. Por tanto $\psi$ é un isomorfismo entre $G/\ker (\varphi )$ e Modelo:Tmath, o que completa a proba.

Aplicacións

A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.

Enteiros módulo n

Para cada Modelo:Tmath, considere os grupos $\mathbb{Z}$ e ${\mathbb{Z}}_n$ e un homomorfismo de grupo $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$ definido por $m\mapsto m\text{ mod }n$ (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, que é un subgrupo normal en Modelo:Tmath. Existe un homomorfismo sobrexectivo natural $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ definido por Modelo:Tmath. O teorema afirma que existe un isomorfismo $h$ entre ${\mathbb{Z}}_n$ e Modelo:Tmath, ou noutras palabras Modelo:Tmath. O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.

Teorema N/C

Sexa $G$ un grupo con subgrupo Modelo:Tmath. Sexan Modelo:Tmath, $N_G(H)$ e $\text{Aut}(H)$ o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de $H$ en Modelo:Tmath, respectivamente. Daquela, o teorema N/C afirma que $N_G(H)/C_G(H)$ é isomorfo a un subgrupo de Modelo:Tmath.

A proba

Podemos atopar un homomorfismo de grupos $f:N_G(H)\to \text{Aut}(H)$ definido por Modelo:Tmath, para todo Modelo:Tmath. Claramente, o kernel de $f$ é Modelo:Tmath. Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural $\phi :N_G(H)\to N_G(H)/C_G(H)$ definido por Modelo:Tmath. O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre $N_G(H)/C_G(H)$ e Modelo:Tmath, que é un subgrupo de Modelo:Tmath.

Outras versións

Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Categoría cociente.

Ligazóns externas

• Matthew Macauley The fundamental homomorphism theorem.

Modelo:Control de autoridades