Circunferencia goniométrica

A circunferencia goniométrica e o triángulo rectángulo asociado.

A circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, é unha circunferencia de raio $1$, normalmente co seu centro na orixe $(0,0)$ dun sistema de coordenadas, dun plano euclidiano ou complexo. Devandita circunferencia utilízase co fin de poder estudar facilmente as razóns trigonométricas e funcións trigonométricas, mediante a representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Se $(x,y)$ é un punto da circunferencia unidade do primeiro cuadrante, entón x e y son as lonxitudes dos catetos dun triángulo rectángulo cuxa hipotenusa ten lonxitude $1$. Aplicando o Teorema de Pitágoras, $a$ e $b$ satisfán a seguinte ecuación: $x^2+y^2=1=raio=hipotenusa$.

Funcións trigonométricas na circunferencia unitaria

Se $(x,y)$ é un punto da circunferencia unidade, e o raio que ten a orixe en $(0,0)$ forma un ángulo $\alpha$ co eixo $X$, as principais funcións trigonométricas pódense representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, da seguinte maneira:

O seno é a razón entre o cateto oposto ($a$) e a hipotenusa ($c$)

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

e dado que a hipotenusa é igual ao raio, que ten valor $1$, dedúcese:

$\sin (\alpha )=a$

O coseno é a razón entre o cateto adxacente ($b$) e a hipotenusa ($c$)

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

e como a hipotenusa ten valor $1$, dedúcese:

$\cos (\alpha )=b$

A tanxente é a razón entre o cateto oposto e o adxacente

$\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$

Principais valores das razóns trigonométricas representados como segmentos respecto da circunferencia goniométrica.

Valores dos ángulos máis comúns e as coordenadas correspondentes sobre a circunferencia goniométrica.

Por semellanza de triángulos:$\frac{AE}{AC}=\frac{OA}{OC}$ e como $OA=1,$ dedúcese que $AE=\frac{AC}{OC}$ e, por tanto, $\tan (\alpha )=\overline{AE}$.

Funcións trigonométricas recíprocas

A cosecante, a secante e a cotanxente, son as razóns trigonométricas recíprocas do seno, coseno e tanxente:

$\csc (\alpha )=\frac{1}{\sin (\alpha )}=\overline{OF}$

$\sec (\alpha )=\frac{1}{\cos (\alpha )}=\overline{OE}$

$\cot (\alpha )=\frac{1}{\tan (\alpha )}=\overline{AF}$

Os valores da cotanxente, a secante e a cosecante obtéñense, analogamente, mediante semellanza de triángulos.

Topoloxía

En topoloxía, a circunferencia unitaria (tamén denominada disco unidade) clasifícase como $S^1$; a xeneralización para unha dimensión máis é a esfera unidade $S^2$.

Grupo circular

Os números complexos pódense identificar con puntos do plano euclidiano, é dicir, o número $a+bi$ identifícase co punto $(a,b)$. Baixo esta identificación, a circunferencia goniométrica trátase dun grupo coa operación de multiplicación, denominado grupo circular e usualmente denotado como 𝕋. Este grupo ten aplicacións moi importantes nas matemáticas e na ciencia.

Véxase tamén

Outros artigos

• Medida de ángulos
• Razóns trigonométricas