Teoremas do isomorfismo

En matemáticas, en concreto álxebra abstracta, os teoremas do isomorfismo (tamén coñecidos como Teoremas de isomorfismo de Noether) son teoremas que describen a relación entre cocientes, homomorfismos e, subobxectos. Existen versións dos teoremas para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, Álxebras de Lie, e outras estruturas alxébricas. En álxebra universal, os teoremas de isomorfismo poden ser xeneralizados ao contexto de álxebras e congruencias.

Historia

Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether no seu artigo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern, que foi publicado en 1927 en Mathematische Annalen. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de Richard Dedekind e documentos anteriores de Noether.

Tres anos despois, B. l. van der Waerden publicou a súa influente Moderne Algebra, o primeiro libro de texto de álxebra abstracta que levou unha aproximación a este tema en grupos-aneis-corpos. Van der Waerden utilizou as conferencias de Noether sobre teoría de grupos e Emil Artín sobre álxebra, así como un seminario realizado por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, e o propio van der Waerden sobre ideais como as principais referencias.

Imos ver os teoremas de isomorfismo referidos aos grupos. Os teoremas refírense pola orde ou as veces polas letras A, B e C.

Primeiro teorema do isomorfismo

Diagrama do teorema fundamental sobre homomorfismos

Sexan G e H grupos, e sexa f : G → H un homomorfismo. Entón:

1. O kernel de f é un subgrupo normal de G.
2. A imaxe de f é un subgrupo de H.
3. A imaxe de f é isomorfa ao grupo cociente G / ker(f).

En particular, se f é sobrexectivo entón H é isomorfo a G / ker(f).

Segundo teorema do isomorfismo

Diagrama para o segundo teorema punto 4. Os dous grupos cocientes (punteados) son isomorfos.

Sexa $G$ un grupo. Sexa $S$ un subgrupo de $G$, e sexa $N$ un subgrupo normal de $G$. Entón cúmprese o seguinte:

1. O produto $SN$ é un subgrupo de $G$.
2. O subgrupo $N$ é un subgrupo normal de $SN$.
3. A intersección $S\cap N$ é un subgrupo normal de $S$.
4. Os grupos cocientes $(SN)/N$ e $S/(S\cap N)$ son isomorfos.

Tecnicamente, non é necesario que $N$ sexa un subgrupo normal, sempre que $S$ sexa un subgrupo do normalizador de $N$ en $G$. Neste caso, $N$ non é un subgrupo normal de $G$ mais $N$ é aínda un subgrupo normal do produto $SN$.

Unha aplicación do segundo teorema do isomorfismo é identificar os grupos lineares proxectivos, por exemplo, o grupo sobre a liña proxectiva complexa comeza facendo $G={\mathrm{GL}}_2(ℂ)$, o grupo de matrices complexas 2 × 2 invertíbeis, $S={\mathrm{SL}}_2(ℂ)$, o subgrupo de matrices de determinante 1, e $N$ o subgrupo normal de matrices escalares ${ℂ}^{\times }I=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right):a\in {ℂ}^{\times }\}$, con eses grupos temos $S\cap N=\{\pm I\}$, onde $I$ é a matriz identidade e, $SN={\mathrm{GL}}_2(ℂ)$. Entón o segundo teorema do isomorfismo afirma que:

${\mathrm{PGL}}_2(ℂ):={\mathrm{GL}}_2(ℂ)/({ℂ}^{\times }I)\cong {\mathrm{SL}}_2(ℂ)/\{\pm I\}=:{\mathrm{PSL}}_2(ℂ)$

Terceiro teorema do isomorfismo

Sexa $G$ un grupo, e $N$ un subgrupo normal de $G$. Entón

1. Se $K$ é un subgrupo de $G$ tal que $N\subseteq K\subseteq G$, entón $G/N$ ten un subgrupo isomorfo a $K/N$.
2. Cada subgrupo de $G/N$ é da forma $K/N$ para algún subgrupo $K$ de $G$ tal que $N\subseteq K\subseteq G$.
3. Se $K$ é un subgrupo normal de $G$ tal que $N\subseteq K\subseteq G$, entón $G/N$ ten un subgrupo normal isomorfo a $K/N$.
4. Cada subgrupo normal de $G/N$ é da forma $K/N$ para algún subgrupo normal $K$ de $G$ tal que $N\subseteq K\subseteq G$.
5. Se $K$ é un subgrupo normal de $G$ tal que $N\subseteq K\subseteq G$, entón o grupo cociente $(G/N)/(K/N)$ é isomorfo a $G/K$.

As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.

Cuarto teorema do isomorfismo

Sexa $G$ un grupo, e $N$ un subgrupo normal de $G$. O homomorfismo da proxección canónica $G\to G/N$ define unha correspondencia bixectiva entre o conxunto de subgrupos de $G$ contendo $N$ e o conxunto dos (todos) subgrupos de $G/N$. Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.

Este teorema denomínanse tamén como o teorema da retícula, teorema de correspondencia.

Comentarios

O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en teoría das categoría coomo que a categoría de grupos é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os epimorfismos normais e os monomorfismos forman un sistema de factorización para a categoría. Isto está capturado no diagrama conmutativo na marxe, que mostra os obxectos e morfismos cuxa existencia pode deducirse do morfismo $f:G\to H$. O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un kernel no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario f factoriza en $\iota \circ \pi$, onde $\iota$ é un monomorfismo e $\pi$ é un epimorfismo (na categoría conormal, todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto $\ker f$ e un monomorfismo $\kappa :\ker f\to G$ (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a secuencia exacta curta que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da secuencia exacta sálvanos de ter que debuxar os morfismos cero de $\ker f$ cara a $H$ e cara a $G/\ker f$.

No segundo teorema do isomorfismo, o produto SN é o join de S e N na rede de subgrupos de G, mentres que a intersección S ∩ N é o meet.

O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo lema nove para categorías abelianas e máis en xeral mapas entre obxectos.

Álxebra Universal

Para xeneralizar o visto anteriormente para grupos na álxebra universal, os subgrupos normais deben ser substituídos por relacións de congruencia.

Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.

Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal

Sexa $f:A\to B$ unha álxebra homomorfismo. Entón a imaxe de $f$ é unha subalxebra de $B$, a relación dada por $\mathrm{\Phi }:f(x)=f(y)$ (é dicir, o kernel de $f$) é unha congruencia sobre $A$, e as álxebras $A/\mathrm{\Phi }$ e $\mathrm{im}f$ son isomorfas. (Note que no caso dun grupo, $f(x)=f(y)$ se e só se $f(x{y}^{-1})=1$, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso.)

Véxase tamén

Bibliografía

• Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
• McLarty, Colin, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray e José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• Modelo:Cita libro
• Cohn, Paul M., Universal algebra, Chapter II.3 p. 57
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teoría das categorías.
• Isomorfismo.
• Conxunto cociente.

Ligazóns externas

• Daniel Miranda, Universidade Federal do ABC, Álgebra Linear Avançada Teoremas de Isomorfismo.

Modelo:Control de autoridades