Matriz identidade

En álxebra linear, a matriz identidade de tamaño $n$ é a matriz cadrada $n\times n$ con todo uns na diagonal principal e ceros no resto de posicións. Ten propiedades únicas, por exemplo, cando a matriz de identidade representa unha transformación xeométrica, o obxecto permanece inalterado pola transformación. Noutros contextos, é análogo a multiplicar polo número 1.

Terminoloxía e notación

A matriz identidade adoita denotarse por $I_n$, ou simplemente por $I$ se o tamaño non é importante ou pode determinarse polo contexto.

$$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\dots ,I_n=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right].$$Nalgúns campos, como a teoría de grupos ou a mecánica cuántica, a matriz de identidade denótase ás veces por un número 1 en letra grosa, $\mathrm{𝟏}$, ou chámase "id" (abreviatura de identidade). Con menos frecuencia, algúns libros de matemáticas usan $U$ ou $E$ para representar a matriz de identidade, que significa "matriz unitaria" e a palabra alemá Modelo:Lang respectivamente.

Outra nomenclatura pode ser$$I_n=\mathrm{diag}(1,1,\dots ,1).$$Ou coa notación do delta de Kronecker : $$(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}.$$

Propiedades

Cando $A$ é unha matriz de tamaño $m\times n$ , temos que a multiplicación matricial pola matriz identidade sería$$I_{m}A=A{I}_n=A.$$En particular, a matriz de identidade serve como a identidade multiplicativa do anel matricial de todas as matrices $n\times n$, e como elemento de identidade do grupo lineal xeral $GL(n)$, que consta de toda matriz invertible $n\times n$ baixo a operación de multiplicación matricial. Neste grupo, dúas matrices cadradas teñen a matriz identidade como produto exactamente cando son inversas entre sí.

O determinante da matriz identidade é 1, e a súa traza é $n$.

A matriz identidade é a única matriz idempotente con determinante distinto de cero. É dicir, é a única matriz tal que:

1. Cando se multiplica por si mesma, o resultado é ela mesma.
2. Todas as súas filas e columnas son linearmente independentes.

A raíz cadrada principal dunha matriz de identidade é ela mesma, e esta é a súa única raíz cadrada definida positivamente. No entanto, cada matriz de identidade con polo menos dúas filas e columnas ten unha infinidade de raíces cadradas simétricas.

O rango dunha matriz de identidade $I_n$ é igual ao tamaño $n$, é dicir:$$\mathrm{rank}(I_n)=n.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz binaria (matriz cero-un)
• Matriz elemental
• Matriz de uns
• Matriz de Pauli (a matriz de identidade é a matriz de Pauli cero)
• Matriz cero

Modelo:Control de autoridades