Relación de congruencia

En álxebra abstracta, unha relación de congruencia (ou simplemente congruencia) é unha relación de equivalencia nunha estrutura alxébrica (como un grupo, anel ou espazo vectorial) que é compatíbel coa estrutura no sentido de que as operacións alxébricas feitas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes.Modelo:Sfnp Toda relación de congruencia ten unha estrutura cociente correspondente, cuxos elementos son as clases de equivalencia (ou clases de congruencia) para a relación. Modelo:Sfnp

Definición

A definición dunha congruencia depende do tipo de estrutura alxébrica que se considere. Pódense facer definicións particulares de congruencia para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, semigrupos, retículas e outras. O tema común é que unha congruencia é unha relación de equivalencia sobre un obxecto alxébrico que é compatíbel coa estrutura alxébrica, no sentido de que as operacións están ben definidas nas clases de equivalencia.

Xeral

A noción xeral dunha relación de congruencia pódese definir formalmente no contexto da álxebra universal, un campo que estuda ideas comúns a todas as estruturas alxébricas. Neste escenario, unha relación $R$ nunha determinada estrutura alxébrica chámase compatíbel se

para cada $n$ e cada operación $n$-aria $\mu$ definida sobre a estrutura: sempre que $a_{1}Ra{\text{'}}_1$ e... e $a_{n}Ra{\text{'}}_n$, entón $\mu (a_1,\dots ,a_n)R\mu (a{\text{'}}_1,\dots ,a{\text{'}}_n)$.

Unha relación de congruencia na estrutura defínese daquela como unha relación de equivalencia que tamén é compatíbel.Modelo:Sfnp Modelo:Sfnp

Exemplos

Exemplo básico

O exemplo prototípico dunha relación de congruencia é a congruencia módulo $n$ no conxunto de números enteiros. Para un número enteiro positivo dado $n$, dous números enteiros $a$ e $b$ chámanse congruentes módulo $n$, escrito

$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

se $a-b$ é divisíbel por $n$ (ou equivalentemente se $a$ e $b$ teñen o mesmo resto cando se divide por $n$).

Por exemplo, $37$ e $57$ son congruentes módulo $10$,

$37\equiv 57(\mathrm{mod}10)$

xa que $37-57=-20$ é múltiplo de 10, ou o equivalente xa que ambos $37$ e $57$ teñen un resto de $7$ cando se divide por $10$.

A congruencia módulo $n$ (para un $n$ fixo) é compatíbel tanto coa suma como coa multiplicación dos números enteiros. É dicir,

se $a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}n)$ e $b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)$

daquela $a_1+b_1\equiv a_2+b_2(\mathrm{mod}n)$ e $a_1{b}_1\equiv a_2{b}_2(\mathrm{mod}n)$.

A adición e multiplicación correspondentes de clases de equivalencia coñécese como aritmética modular. Desde o punto de vista da álxebra abstracta, a congruencia módulo $n$ é unha relación de congruencia no anel de enteiros e a aritmética módulo $n$ ocorre no anel cociente correspondente.

Exemplo: Grupos

Por exemplo, un grupo é un obxecto alxébrico que consiste nun conxunto xunto cunha única operación binaria, que satisfai certos axiomas. Se $G$ é un grupo con operación $\ast$, unha relación de congruencia sobre $G$ é unha relación de equivalencia $\equiv$ sobre os elementos de $G$ a satisfacer

$g_1\equiv g_2$ e $h_1\equiv h_2⟹g_1\ast h_1\equiv g_2\ast h_2$

para todos $g_1,g_2,h_1,h_2\in G$. Para unha congruencia nun grupo, a clase de equivalencia que contén o elemento identidade é sempre un subgrupo normal, e as outras clases de equivalencia son as outras clases deste subgrupo. En conxunto, estas clases de equivalencia son os elementos dun grupo cociente.

Exemplo: aneis

Cando unha estrutura alxébrica inclúe máis dunha operación, as relacións de congruencia deben ser compatíbeis con cada operación. Por exemplo, un anel posúe suma e multiplicación, e unha relación de congruencia nun anel debe satisfacer

$r_1+s_1\equiv r_2+s_2$ e $r_1{s}_1\equiv r_2{s}_2$

sempre que $r_1\equiv r_2$ e $s_1\equiv s_2$. Para unha congruencia nun anel, a clase de equivalencia que contén o 0 é sempre un ideal polos dous lados, e as dúas operacións sobre o conxunto de clases de equivalencia definen o anel cociente correspondente.

Relación cos homomorfismos

Se $f:A\to B$ é un homomorfismo entre dúas estruturas alxébricas (como o homomorfismo de grupos, ou un mapa linear entre espazos vectoriais), entón a relación $R$ definida por

$a_{1}R{a}_2$ se e só se $f(a_1)=f(a_2)$

é unha relación de congruencia sobre $A$. Polo primeiro teorema de isomorfismo, a imaxe de A baixo $f$ é unha subestrutura de B isomorfa ao cociente de A por esta congruencia.

Por outra banda, a relación de congruencia $R$ induce un homomorfismo único $f:A\to A/R$ dado por

$f(x)=\{y\mid xRy\}$ .

Así, hai unha correspondencia natural entre as congruencias e os homomorfismos de calquera estrutura alxébrica dada.

Congruencias de grupos, e subgrupos normais e ideais

No caso particular dos grupos, as relacións de congruencia pódense describir en termos elementais do seguinte xeito: Se G é un grupo (con elemento de identidade e e operación *) e o símbolo ~ é unha relación binaria en G, entón ~ é unha congruencia sempre que:

1. Dado calquera elemento a de G, Modelo:Nowrap (reflexividade);
2. Dados os elementos a e b de G, se Modelo:Nowrap, entón Modelo:Nowrap (simetría);
3. Dados os elementos a, b e c de G, se Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap, entón Modelo:Nowrap (transitividade);
4. Dados os elementos a, a ′, b e b ′ de G, se Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap, entón Modelo:Nowrap;
5. Dados os elementos a e a ′ de G, se Modelo:Nowrap, entón Modelo:Nowrap (isto está implícito polos outros catro, polo que é estritamente redundante).

As condicións 1, 2 e 3 din que ~ é unha relación de equivalencia.

Unha congruencia ~ está determinada enteiramente polo conxunto Modelo:Nowrap daqueles elementos de G que son congruentes co elemento identidade, e este conxunto é un subgrupo normal. En concreto, Modelo:Nowrap se e só se Modelo:Nowrap. Entón, en lugar de falar de congruencias en grupos, a xente adoita falar en termos de subgrupos normais deles; de feito, toda congruencia corresponde unicamente a algún subgrupo normal de G.

Os ideais dos aneis e o caso xeral

Un truco semellante permite falar dos núcleos na teoría de aneis como ideais en lugar de relacións de congruencia, e na teoría de módulos como submódulos en lugar de relacións de congruencia.

Unha situación máis xeral na que este truco é posíbel é cos grupos Omega (no sentido xeral que permiten operadores con aridade múltiple). Pero isto non se pode facer, por exemplo, con monoides, polo que o estudo das relacións de congruencia xoga un papel máis central na teoría dos monoides.

Álxebra universal

A noción xeral de congruencia é particularmente útil na álxebra universal. Unha formulación equivalente neste contexto é a seguinte: Modelo:Sfnp

Unha relación de congruencia nunha álxebra A é un subconxunto do produto directo Modelo:Nowrap que é á vez unha relación de equivalencia en A e unha subálxebra de Modelo:Nowrap.

O kernel dun homomorfismo é sempre unha congruencia. De feito, toda congruencia xorde como un kernel. Para unha congruencia dada ~ sobre A, no conxunto Modelo:Nowrap de clases de equivalencia pódese dar a estrutura dunha álxebra de forma natural, a álxebra cociente. A función que asigna cada elemento de A á súa clase de equivalencia é un homomorfismo, e o kernel deste homomorfismo é ~.

A rede Con (A) de todas as relacións de congruencia nunha álxebra A é unha retícula alxébrica.

Nun grupo determínase unha congruencia se coñecemos unha única clase de congruencia, en particular se coñecemos o subgrupo normal que é a clase que contén a identidade. Do mesmo xeito, nun anel determínase unha congruencia se coñecemos o ideal que é a clase de congruencia que contén o cero.

Nos semigrupos non existe tal ocorrencia afortunada, polo que estamos ante a necesidade de estudar as congruencias como tal. Máis que outra cousa, é esta necesidade a que dá á teoría dos semigrupos o seu sabor característico. Os semigrupos son de feito o primeiro e máis sinxelo tipo de álxebra ao que se deben aplicar os métodos da álxebra universal. ... Modelo:Sfnp

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema chinés do resto.
• Relación de equivalencia.

Modelo:Control de autoridades