Intersección (conxuntos)
En teoría de conxuntos, a intersección de dous conxuntos e denotado como [1] é o conxunto que contén todos os elementos de que tamén pertencen a ou viceversa.[2]
Notación e terminoloxía
A intersección escríbese co símbolo "" entre os conxuntos, en notación infixa. Por exemplo:A intersección de máis de dous conxuntos (intersección xeneralizada) pódese escribir como:.
Definición
A intersección de dous conxuntos e denotado como ,[3] é o conxunto de todos os obxectos que son membros de ambos os dous conxuntos e Con símbolos:É dicir, é un elemento da intersección se e só se é tanto un elemento de e un elemento de [3]
Por exemplo:
- A intersección dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {2, 3}.
- O número 9 non está na intersección do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 non é primo.
Conxuntos intersecantes e disxuntos
Dicimos que intersecta a se existe algún que é un elemento tanto de como de , nese caso tamén dicimos que interxecta a . De forma equivalente, intersecta a se a súa intersección é un conxunto con algún elemento, expresado tamén como que existe algún tal que
Dicimos que e son disxuntos se non se cruza con En linguaxe sinxela, non teñen elementos en común. e son disxuntos se a súa intersección é baleiro, denotado
Por exemplo, os conxuntos e son disxuntos, mentres que o conxunto de números pares cruza o conxunto de múltiplos de 3 en múltiplos de 6.
Propiedades alxébricas
A intersección binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto e temosAsí, as parénteses poden omitirse sen ambigüidade: calquera das anteriores pódese escribir como . A intersección tamén é conmutativa. É dicir, para calquera e un tenA intersección de calquera conxunto co conxunto baleiro dá como resultado o conxunto baleiro; é dicir, que para calquera conxunto ,Ademais, a operación de intersección é idempotente; é dicir, calquera conxunto satisfai .
A intersección é distributiva en relación á unión e a unión é distributiva en relación á intersección. É dicir, para calquera conxunto e temosDentro dun universo pódese definir o complemento de como o conxunto de todos os elementos de que non están en Ademais, a intersección de e poden escribirse como o complemento da unión dos seus complementos, obtido facilmente das leis de De Morgan:
Interseccións arbitrarias
Podemos xeneralizar a intersección a unha colección arbitraria de conxuntos non baleiros. Se é un conxunto non baleiro cuxos elementos son eles mesmos conxuntos, entón é un elemento da intersection de se e só se para cada elemento de é un elemento de Con símbolos:Tamén pódese escribir como: , ou , ou e a maiores tamén = onde é un conxunto non baleiro, e é un conxunto para todos , tamén pódese escribir como " ".